每日一题[736]不等式证明中的函数构造

证明下列不等式:
(1) 若1e<x<y<1,则yx<1+lny1+lnx
(2) (214+1)(224+1)(2n4+1)<e4


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证明 (1) 由于yx<1+lny1+lnx等价于1+lnxx<1+lnyy,于是只需要证明函数f(x)=1+lnxx在区间(1e,1)上单调递增.函数f(x)的导函数f(x)=lnxx2,于是函数f(x)(0,1)上单调递增,因此原命题得证.

(2) 等价于证明ln(214+1)+ln(224+1)++ln(2n4+1)<4,ln(x+1)<x(x>0),于是有LHS<214+224+234+244++2n4从而原命题得证.

 因为不等式相当宽松,也可以直接先将分母放缩成二次,得到结果,即\begin{split} LHS&<\dfrac{2}{1^4}+\dfrac{2}{2^4}+\dfrac{2}{3^4}+\dfrac{2}{4^4}+\cdots +\dfrac{2}{n^4}\\&\leqslant \dfrac{2}{1^2}+\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{2}{4^2}+\cdots +\dfrac{2}{n^2}\\&<2\left(1+1-\dfrac 12+\dfrac 12-\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1{n-1}-\dfrac 1n\right)\\&=4-\dfrac 2n<4,\end{split}

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