证明下列不等式:
(1) 若1e<x<y<1,则yx<1+lny1+lnx;
(2) (214+1)(224+1)⋯(2n4+1)<e4.
证明 (1) 由于yx<1+lny1+lnx等价于1+lnxx<1+lnyy,于是只需要证明函数f(x)=1+lnxx在区间(1e,1)上单调递增.函数f(x)的导函数f′(x)=−lnxx2,于是函数f(x)在(0,1)上单调递增,因此原命题得证.
(2) 等价于证明ln(214+1)+ln(224+1)+⋯+ln(2n4+1)<4,而ln(x+1)<x(x>0),于是有LHS<214+224+234+244+⋯+2n4⩽2+18+21⋅2⋅3⋅4+22⋅3⋅4⋅5+⋯+2(n−2)(n−1)n(n+1)=178+23⋅[11⋅2⋅3−1(n−1)n(n+1)]<178+19<4,从而原命题得证.
注 因为不等式相当宽松,也可以直接先将分母放缩成二次,得到结果,即LHS<214+224+234+244+⋯+2n4⩽212+222+232+242+⋯+2n2<2(1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)=4−2n<4,