每日一题[735]项圈与丝带

(2011年江苏卷)设集合\[\begin{split} A&=\left\{(x,y)\mid \dfrac m2\leqslant (x-2)^2+y^2\leqslant m^2,x,y\in\mathbb R\right\},\\ B&=\left\{(x,y)\mid 2m\leqslant x+y\leqslant 2m+1,x,y\in\mathbb R\right\},\end{split} \]若$A\cap B\neq \varnothing$,则实数$m$的取值范围是_________.


cover

分析与解 $\left[\dfrac 12,2+\sqrt 2\right]$.

考虑问题的反面,若$A\cap B=\varnothing$,那么:

情形一 $A=\varnothing$.此时$\dfrac m2>m^2$,即$0<m<\dfrac 12$.

情形二 $A\ne \varnothing$.当$m>\dfrac 12$时,$A$表示环形区域;当$m=\dfrac 12$时,$A$退化为一个圆圈;当$m=0$时,$A$表示一个点;当$m<0$时,$A$表示一个圆及其内部.$B$始终表示两条平行直线及之间的部分.若$A\cap B=\varnothing$,无论$A$为何种形状,皆与圆心$(2,0)$到直线$x+y=2m$与直线$x+y=2m+1$的距离均大于$|m|$等价,即$$\begin{cases}\dfrac{|2-2m|}{\sqrt 2}>|m|,\\ \dfrac{|1-2m|}{\sqrt 2}>|m|,\end{cases} $$ 解得$m\leqslant 0$或$m>2+\sqrt 2$.

综上所述,若$A\cap B=\varnothing$,那么$m<\dfrac 12$或$m>2+\sqrt 2$.

因此所求实数$m$的取值范围是$\left[\dfrac 12,2+\sqrt 2\right]$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论