每日一题[720]平面向量的数量积

如图,在平面四边形ABCD中,AC=l1BD=l2,则(AB+DC)(BC+AD)=_______.

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分析与解 l21l22

设直线ACBD的公共点为OOA=ae1OB=be2OC=ce1OD=de2,其中e1,e2是单位向量,且|ac|=l1|bd|=l2.设所求式的值为m,则m=(OBOA+OCOD)(OCOB+ODOA)=[(ca)e1+(bd)e2][(ca)e1(bd)e2]=(ca)2(bd)2=l21l22.


另法 因为AB+DC=AC+DB=ACBD,BC+AD=BD+AC=AC+BD,
所以m=ACACBDBD=l21l22.

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