如图,在平面四边形ABCD中,AC=l1,BD=l2,则(→AB+→DC)⋅(→BC+→AD)=_______.
分析与解 l21−l22.
设直线AC与BD的公共点为O,→OA=a→e1,→OB=b→e2,→OC=c→e1,→OD=d→e2,其中→e1,→e2是单位向量,且|a−c|=l1,|b−d|=l2.设所求式的值为m,则m=(→OB−→OA+→OC−→OD)⋅(→OC−→OB+→OD−→OA)=[(c−a)→e1+(b−d)→e2]⋅[(c−a)→e1−(b−d)→e2]=(c−a)2−(b−d)2=l21−l22.
另法 因为→AB+→DC=→AC+→DB=→AC−→BD,→BC+→AD=→BD+→AC=→AC+→BD,
所以m=→AC⋅→AC−→BD⋅→BD=l21−l22.