每日一题[81] 求和的“汉堡包法”

如图，将正三角形\(ABC\)分割成\(n\)层共\(n^2\)个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于\(3\)时）都分别依次成等差数列，若顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)处的三个数互不相同且和为\(1\)，则所有顶点的数之和\(S_n=\)_______．

答案是\(\dfrac 16(n+1)(n+2)\)．

解题的灵感可以参考http://lanqi.org/?p=177

假设在顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)的数分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)．考虑将三角形\(ABC\)旋转\(120\)度以及\(240\)度，然后将旋转得到的两个三角形与三角形\(ABC\)重合放置，那么每个顶点处会有三个数，考虑到等差数列的本质为线性分布，它们分别是\[\begin{split}\lambda x+\mu y +\nu z,\\\lambda y+\mu z+\nu x,\\\lambda z +\mu x+\nu y,\end{split}\]其中\(\lambda+\mu+\nu=1\)．因此它们的和均为\(1\)．

于是所有的顶点数除以\(3\)即为所求：\[\dfrac 13\left(1+2+\cdots+(n+1)\right)=\dfrac 16(n+1)(n+2).\]