每日一题[82] 费马小定理

求证:存在无穷多个奇数\(m\),使得\(8^m+9m^2\)为合数.


cover费马小定理,有\[8^{16}\equiv 1\pmod {17},\]于是当\(m\equiv 1\pmod {16}\)时,有\[8^m\equiv 8\pmod {17}.\]

又当\(m\equiv 1\pmod{17}\)时,有\[9m^2\equiv 9\pmod{17},\]因此有当\(m\equiv 1\pmod{16\times 17}\)时,\(17|{8^m+9m^2}\),因此\(8^m+9m^2\)为合数.

而满足\(m\equiv 1\pmod{16\times 17}\)的奇数有无穷多个,因此原命题得证.

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