每日一题[706]新性质探索——E数列

(2011年北京卷)若数列An:a1,a2,,an(n2)满足|ak+1ak|=1(k=1,2,,n1),则称AnE数列.记S(An)=a1+a2++an
(1) 写出一个满足a1=a5=0,且S(A3)>0E数列A5
(2) 若a1=12n=2000,证明:E数列An是递增数列的充要条件是an=2011
(3) 对任意给定的整数n(n2),是否存在首项为0E数列An,使得S(An)=0.如果存在,写出一个满足条件的E数列An;如果不存在,说明理由.


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分析与解 (1) 0,1,2,1,0

(2) 由于|ak+1ak|=1,于是ak+1ak1,等号取得的条件是ak+1>ak,其中k=1,2,,n.累加可得a2000a11999,等号当且仅当a2000>a1999>a1998>>a1时取得,因此原命题得证.

(3) 显然当i是奇数时,ai是偶数;当i是偶数时,ai是奇数,其中i=1,2,,n.因此若S(An)=0,则n\equiv 0,1\pmod{4},否则S\left(A_n\right)为奇数.当n\equiv 0\pmod{4}时,满足条件的一个A_n\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1};n\equiv 1\pmod{4}时,满足条件的一个A_n\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1},0;n\equiv 2,3\pmod{4}时,不存在满足条件的E数列A_n

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