(2011年北京卷)若数列An:a1,a2,⋯,an(n⩾2)满足|ak+1−ak|=1(k=1,2,⋯,n−1),则称An为E数列.记S(An)=a1+a2+⋯+an.
(1) 写出一个满足a1=a5=0,且S(A3)>0的E数列A5;
(2) 若a1=12,n=2000,证明:E数列An是递增数列的充要条件是an=2011;
(3) 对任意给定的整数n(n⩾2),是否存在首项为0的E数列An,使得S(An)=0.如果存在,写出一个满足条件的E数列An;如果不存在,说明理由.
分析与解 (1) 0,1,2,1,0;
(2) 由于|ak+1−ak|=1,于是ak+1−ak⩽1,等号取得的条件是ak+1>ak,其中k=1,2,⋯,n.累加可得a2000−a1⩽1999,等号当且仅当a2000>a1999>a1998>⋯>a1时取得,因此原命题得证.
(3) 显然当i是奇数时,ai是偶数;当i是偶数时,ai是奇数,其中i=1,2,⋯,n.因此若S(An)=0,则n\equiv 0,1\pmod{4},否则S\left(A_n\right)为奇数.当n\equiv 0\pmod{4}时,满足条件的一个A_n是\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1};当n\equiv 1\pmod{4}时,满足条件的一个A_n是\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1},0;当n\equiv 2,3\pmod{4}时,不存在满足条件的E数列A_n.