每日一题[82] 费马小定理

求证：存在无穷多个奇数$m$，使得$8^m+9m^2$为合数．

由费马小定理，有 $$8^{16}\equiv 1\pmod {17},$$ 于是当$m\equiv 1\pmod {16}$时，有 $$8^m\equiv 8\pmod {17}.$$

又当$m\equiv 1\pmod{17}$时，有 $$9m^2\equiv 9\pmod{17},$$ 因此有当$m\equiv 1\pmod{16\times 17}$时，$17|{8^m+9m^2}$，因此$8^m+9m^2$为合数．

而满足$m\equiv 1\pmod{16\times 17}$的奇数有无穷多个，因此原命题得证．