等差数列{an}各项均为正整数，满足a1a2−8a1+a2−13=0，数列{bn}满足bn=n2(n∈N∗)，数列{an}与{bn}所有公共项从小到大排列得到数列{cn}，Sn是数列{√1+1bn+1bn+1}的前n项和，则(4Sn)2−c2n−1的最大值为_______．
分析与解 根据题意，有(a1+1)(a2−8)=5,
于是a1=4，a2=9，从而an=5n−1,n∈N∗.
考虑到当n模5的余数为0,1,2,3,4时，n2模5的余数分别为0,1,4,4,1．于是{cn}为模5余2或3的正整数从小到大排列得到的数列，进而c2n−1表示第n个模5余2的数，即c2n−1=(5n−3)2,n∈N∗.
而√1+1bn+1bn+1=√1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1,
于是Sn=n+1−1n+1,n∈N∗.
这样就有(4Sn)2−c2n−1=16(n+1)2+16(n+1)2−(5n−3)2−32=−9n2+62n+16(n+1)2−25=−9(n+1)2+80(n+1)+16(n+1)2−96.
设φ(x)=−9x2+80x+16x2，则其导函数φ′(x)=−18x+80−32x3,
于是当x⩾2时，φ(x)先增后减，且极大值点位于区间(4,5)．当n=3时，原式值为81；当n=4时，原式值为199125，因此所求的最大值为81．