每日一题[671]横看成岭

设实数$x,y,z$满足$$\begin{cases} |x+2y-3z|\leqslant 6,\\ |x-2y+3z|\leqslant 6,\\ |x-2y-3z|\leqslant 6,\\ |x+2y+3z|\leqslant 6,\end{cases} $$则$|x|+|y|+|z|$的最大值为______.


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分析与解 $6$.

法一 冻结变量
把$z$看成参数,有$$\begin{cases} 3z-6\leqslant x+2y\leqslant 3z+6,\\ -3z-6\leqslant x-2y\leqslant -3z+6,\\ 3z-6\leqslant x-2y\leqslant 3z+6,\\ -3z-6\leqslant x+2y\leqslant -3z+6,\end{cases} $$根据对称性,不妨设$z\geqslant 0$.于是条件简化为$$\begin{cases} 3z-6\leqslant x+2y\leqslant -3z+6,\\ 3z-6 \leqslant x-2y\leqslant -3z+6,\end{cases} $$该不等式组有解即$z\in [0,2]$,表示一个菱形及其内部($z=2$时退化为一个点),如图. %e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-09-14-%e4%b8%8b%e5%8d%883-24-34于是可得$$|x|+|y|+|z|\leqslant 6-3z+z=6-2z\leqslant 6,$$等号当$x=6$,$y=0$,$z=0$时取得.于是所求的最大值为$6$.

法二 不等式
由于$$|x|+|y|+|z|\leqslant |x|+2|y|+3|z|,$$而右边必然为$$|x+2y-3z|,|x-2y+3z|,|x-2y-3z|,|x+2y+3z|$$之一,于是$$|x|+|y|+|z|\leqslant 6,$$当$x=6$,$y=0$,$z=0$时取得等号.因此所求的最大值为$6$.

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