每日一题[673]零点知多少

函数$f(x)=\sin^2[x]+\sin^2\{x\}-1$($x\in [0,100]$)的零点个数为______,函数$g(x)=[x]\cdot \{x\}-\dfrac 13x-1$($x\in [0,100]$)的零点个数为______.
(注:其中$[x]$和$\{x\}$分别表示$x$的整数部分与小数部分.)


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分析与解 $64$,$97$.

考虑方程$f(x)=0$,即$$\dfrac{1-\cos 2[x]}{2}+\dfrac{1-\cos 2\{x\}}{2}-1=0,$$也即$$\cos 2[x]+\cos 2\{x\}=0,$$于是$$2[x]\pm 2\{x\}=2k\pi +\pi ,k\in\mathcal Z,$$即$$[x]\pm \{x\}=k\pi +\dfrac{\pi}2,k\in\mathcal Z.$$对于方程$$[x]+\{x\}=x=k\pi +\dfrac{\pi}2,$$先考虑到$\dfrac{100}{\pi}\approx 31.8$,即$31.5\pi<100<32\pi$,所以当$k=0,1,2,\cdots,31$,共$32$个零点.

再考虑方程$$[x]-\{x\}=k\pi +\dfrac{\pi}2,$$作出函数$y=[x]-\{x\}$的图象如下:

%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-09-%e4%b8%8a%e5%8d%889-04-14易知此方程也有$32$个解(分别对应$k=0,1,2,\cdots,31$,其中每条直线$y=k\pi+\dfrac {\pi}2$与此函数有唯一交点).

所以函数$f(x)$的零点共有$32+32=64$个.


最后考虑方程$g(x)=0$的解,即函数$y=[x]\cdot\{x\}$与函数$y=\dfrac 13x+1$的图象的公共点的横坐标.如图:

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在每个区间$(k,k+1]$($k\in\mathcal N^*$且$3\leqslant k\leqslant 99$)上都有$1$个公共点,共$97$个.

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