每日一题[663]系数配凑

已知$2x^2+2y^2-xy=1$，求$3x^2+4y^2$的最大值．

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分析与解　条件即

$$4x^2+4y^2-2xy=2,$$ 引入含参数$\lambda$的均值不等式 $$-2xy\leqslant \lambda x^2+\dfrac{1}{\lambda}y^2,\lambda>0,$$ 以及 $$-2xy\geqslant \lambda x^2+\dfrac{1}{\lambda}y^2,\lambda<0,$$ 于是考虑系数 $$\left(4+\lambda\right):\left(4+\dfrac{1}{\lambda }\right)=3:4,$$ 解得$\lambda =-\dfrac 32$或$\lambda =\dfrac 12$．于是可得 $$\dfrac 56\left(3x^2+4y^2\right)\leqslant 2\leqslant \dfrac 32\left(3x^2+4y^2\right),$$ 从而可得$3x^2+4y^2$的最大值为$\dfrac{12}5$，最小值为$\dfrac 43$．