已知函数y=(acos2x−3)sinx的最小值为−3,求a的取值范围.
分析与解 问题即函数f(x)=−ax3+(a−3)x在区间[−1,1]上的最小值为−3.函数f(x)的导函数为f′(x)=−3ax2+(a−3).注意到f(1)=−3,于是f′(1)⩽0,可得a⩾−32.
情形一 −32⩽a⩽3.
此时恒有f′(x)⩽0,函数f(x)在区间[−1,1]上单调递减,符合题意.
情形二 a>3.
此时函数f(x)在区间[−1,1]上有极小值点x=−√a−33a,于是根据题意,有f(−√a−33a)⩾−3,即−2(a−3)3⋅√a−33a⩾−3,整理得(a−12)(4a2+12a+9)⩽0,解得a⩽12.
综上所述,a的取值范围是[−32,12].