每日一题[618]倒序相乘

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,a_2=\dfrac 12$，且对任意整数 $n>2$ 均有 $$n\left(n+1\right)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=\left(n+1\right)^2a_{n+1}a_{n-1}.$$ (1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项；

(2) 对任意整数 $n>2$，证明：$\dfrac 2{n+1}<\sqrt[n]{a_n}<\dfrac 1{\sqrt n}$．

分析与解　(1) 根据已知，有 $$\dfrac{1}{a_{n-1}}+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}=\dfrac{n+1}{na_n},$$ 即 $$\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{na_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}},$$ 从而可得 $$\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=0,$$ 于是$a_n=\dfrac{1}{n!}$，$n\in\mathcal N^*$．

(2) 欲证明的不等式等价于 $$n^n<n!\cdot n!<\left(\dfrac{n+1}2\right)^{2n}.$$ 由于当$k=1,2,\cdots ,n$时，有 $$n\leqslant k\cdot (n+1-k)\leqslant \left(\dfrac{n+1}2\right)^2,$$ 将以上各式累乘可得 $$n^n\leqslant n!\cdot n!\leqslant \left(\dfrac{n+1}2\right)^{2n},$$ 显然等号无法取得，因此原命题得证．

最后给出一道练习：

练习　求证：$\left({\rm e}+{\rm e}^{-1}\right)\left({\rm e}^2+{\rm e}^{-2}\right)\cdots \left({\rm e}^n+{\rm e}^{-n}\right)>\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{\frac n2}$．

提示　只需要证明$\left({\rm e}^k+{\rm e}^{-k}\right)\left({\rm e}^{n+1-k}+{\rm e}^{-(n+1-k)}\right)>{\rm e}^{n+1}+2$．