每日一题[609]合二为一

求函数f(x)=sinx+sinx+cosxcosx+sinx+cosx的值域.


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分析与解 根据题意,有sinx,cosx0.由于sinx+sinx+cosxcosx+sinx+cosxsinx+cosx+sinx+cosx0+sinx+cosx=2,等号当sinx=1cosx=0时取得,因此所求函数的最大值为2.类似的,有sinx+sinx+cosxcosx+sinx+cosx0+sinx+cosxsinx+cosx+sinx+cosx=12,等号当sinx=0cosx=1时取得,因此所求函数的最小值为12

结合函数f(x)在一个周期(如[0,π2])上的连续性,有函数f(x)的值域为[12,2]

    事实上,考虑到函数f(x)f(π2x)=1,于是原函数的最大值与最小值互为倒数.


另解 当cosx=0时,sinx=1,此时函数值为2.当cosx>0时,有sinx+sinx+cosxcosx+sinx+cosx=tanx+tanx+11+tanx+1=1+tanx1tanx+1+1<1+tanx+11tanx+1+1<2,因此所求函数的最大值为2

另一方面因为cosx>0时,tanx0,所以tanx+tanx+11+tanx+1tanx+11+tanx+1+tanx=12.tanx=0时取到等号,因此所求函数的最小值为12

结合函数f(x)在一个周期(如[0,π2])上的连续性,有函数f(x)的值域为[12,2]

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