每日一题[609]合二为一

求函数$f(x)=\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}$的值域．

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分析与解　根据题意，有$\sin x,\cos x\geqslant 0$．由于

$$\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}\leqslant \dfrac{\sqrt{\sin x+\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{0+\sqrt{\sin x+\cos x}}=2,$$ 等号当$\sin x=1$，$\cos x=0$时取得，因此所求函数的最大值为$2$．类似的，有 $$\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}\geqslant \dfrac{0+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\sin x+\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}=\dfrac 12,$$ 等号当$\sin x=0$，$\cos x=1$时取得，因此所求函数的最小值为$\dfrac 12$．

结合函数$f(x)$在一个周期（如$\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$）上的连续性，有函数$f(x)$的值域为$\left[\dfrac 12,2\right]$．

注    事实上，考虑到函数$f(x)\cdot f\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=1$，于是原函数的最大值与最小值互为倒数．

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另解　当$\cos x=0$时，$\sin x=1$，此时函数值为$2$．当$\cos x>0$时，有

$$\begin{split} \dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}&=\dfrac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\tan x+1}}{1+\sqrt{\tan x+1}}\\ &=1+\dfrac{\sqrt{\tan x}-1}{\sqrt{\tan x+1}+1}\\ &<1+\dfrac{\sqrt{\tan x+1}-1}{\sqrt{\tan x+1}+1}\\ &<2,\end{split}$$ 因此所求函数的最大值为$2$．

另一方面因为$\cos x>0$时，$\tan x\geqslant 0$，所以

$$\dfrac{\sqrt{\tan x}+\sqrt{\tan x+1}}{1+\sqrt{\tan x+1}}\geqslant \dfrac{\sqrt{\tan x+1}}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\tan x}}=\dfrac 12.$$ 当$\tan x=0$时取到等号，因此所求函数的最小值为$\dfrac 12$．

结合函数$f(x)$在一个周期（如$\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ]$）上的连续性，有函数$f(x)$的值域为$\left[\dfrac 12,2\right]$．