求函数f(x)=√sinx+√sinx+cosx√cosx+√sinx+cosx的值域.
分析与解 根据题意,有sinx,cosx⩾0.由于√sinx+√sinx+cosx√cosx+√sinx+cosx⩽√sinx+cosx+√sinx+cosx0+√sinx+cosx=2,等号当sinx=1,cosx=0时取得,因此所求函数的最大值为2.类似的,有√sinx+√sinx+cosx√cosx+√sinx+cosx⩾0+√sinx+cosx√sinx+cosx+√sinx+cosx=12,等号当sinx=0,cosx=1时取得,因此所求函数的最小值为12.
结合函数f(x)在一个周期(如[0,π2])上的连续性,有函数f(x)的值域为[12,2].
注 事实上,考虑到函数f(x)⋅f(π2−x)=1,于是原函数的最大值与最小值互为倒数.
另解 当cosx=0时,sinx=1,此时函数值为2.当cosx>0时,有√sinx+√sinx+cosx√cosx+√sinx+cosx=√tanx+√tanx+11+√tanx+1=1+√tanx−1√tanx+1+1<1+√tanx+1−1√tanx+1+1<2,因此所求函数的最大值为2.
另一方面因为cosx>0时,tanx⩾0,所以√tanx+√tanx+11+√tanx+1⩾√tanx+1√1+tanx+√1+tanx=12.当tanx=0时取到等号,因此所求函数的最小值为12.
结合函数f(x)在一个周期(如[0,π2])上的连续性,有函数f(x)的值域为[12,2].