每日一题[595]保三角函数

对函数$f(x)$，若对任意$a,b,c\in\mathcal R$，$f(a),f(b),f(c)$为某个三角形的三边长，则称$f(x)$为“保三角函数”，已知函数$f(x)=\dfrac{2^x+m}{2^x+2}$($m>0$)是“保三角函数”，则实数$m$的取值范围是______．

分析与解　根据题意，函数$f(x)$需要满足$\sup(f(x))\leqslant 2\inf (f(x))$，设$y=\dfrac{2^x+m}{2^x+2}$，则 $$2^x=\dfrac{m-2y}{y-1}>0,$$ 因此$\dfrac m2$和$1$均为$y$的取值的确界，因此$\dfrac m2$的取值范围是$\left[\dfrac 12,2\right]$，对应的$m$的取值范围是$[1,4]$．

说明　$\sup(f(x))$与$\inf(f(x))$表示函数$f(x)$的上确界与下确界，即最小的上界与最大的下界．当函数有最大（小）值时，上（下）确界就是最大（小）值；一个没有上（下）界的函数不存在上（下）确界；而对于单调有界函数，在不存在最值的情况下，有时用确界的表达会带来便利，比如$a<\dfrac{1}{1+x^2}$恒成立，我们希望$a$小于右边函数的最小值，右边的函数（记为$g(x)$）无最小值，有下确界$\inf(g(x))=0$，所以$a\leqslant \inf(g(x))=0$．