每日一题[587]泾渭分明

已知等差数列$\{a_n\}$中包含$1$和$\sqrt 2$，求证：数列$\{a_n\}$中的任意不同三项不能构成等比数列．

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分析与证明　设$a_0=1$，$a_m=\sqrt 2$，则

$$d=\dfrac{\sqrt 2-1}m,$$ 于是 $$a_n=1+\dfrac nm\cdot \left(\sqrt 2-1\right),n\in\mathcal Z.$$ 也即 $$a_n=(1-\lambda)+\lambda \sqrt 2,n\in\mathcal Z,$$ 其中$\lambda \in \mathcal Q$．

假设存在$n,s,t\in\mathcal Z$，使得$a_s,a_n,a_t$构成等比数列，则此时

$$a_s\cdot a_t=\left(1-\lambda_s+\lambda_s\sqrt 2\right)\cdot \left(1-\lambda_t+\lambda_t\sqrt 2\right)=1-\lambda_s-\lambda_t+3\lambda_s\lambda_t+(\lambda_s+\lambda_t-2\lambda_s\lambda_t)\sqrt 2,$$ 而 $$a_n^2=1-2\lambda+3\lambda^2+2(\lambda-\lambda^2)\sqrt 2,$$ 其中$\lambda_s,\lambda_t,\lambda\in\mathcal Q$．于是 $$\begin{cases}3\lambda^2-2\lambda =3\lambda_s\lambda_t-\lambda_s-\lambda_t,\\ 2\lambda^2-2\lambda=2\lambda_s\lambda_t-\lambda_s-\lambda_t,\end{cases}$$ 从而可得 $$\begin{cases} \lambda^2=\lambda_s\lambda_t,\\ 2\lambda=\lambda_s+\lambda_t,\end{cases}$$ 由以上两式可得 $$\lambda=\lambda_s=\lambda_t,$$ 于是$n=s=t$，矛盾．

综上所述，原命题得证．

注　若$a,b$为有理数，$x$为无理数，那么$a+bx=0$等价于$a=0$且$b=0$．