已知等差数列$\{a_n\}$中包含$1$和$\sqrt 2$，求证：数列$\{a_n\}$中的任意不同三项不能构成等比数列．
分析与证明 设$a_0=1$，$a_m=\sqrt 2$，则$$d=\dfrac{\sqrt 2-1}m,$$于是$$a_n=1+\dfrac nm\cdot \left(\sqrt 2-1\right),n\in\mathcal Z.$$也即$$a_n=(1-\lambda)+\lambda \sqrt 2,n\in\mathcal Z,$$其中$\lambda \in \mathcal Q$．
假设存在$n,s,t\in\mathcal Z$，使得$a_s,a_n,a_t$构成等比数列，则此时$$a_s\cdot a_t=\left(1-\lambda_s+\lambda_s\sqrt 2\right)\cdot \left(1-\lambda_t+\lambda_t\sqrt 2\right)=1-\lambda_s-\lambda_t+3\lambda_s\lambda_t+(\lambda_s+\lambda_t-2\lambda_s\lambda_t)\sqrt 2,$$而$$a_n^2=1-2\lambda+3\lambda^2+2(\lambda-\lambda^2)\sqrt 2,$$其中$\lambda_s,\lambda_t,\lambda\in\mathcal Q$．于是$$\begin{cases}3\lambda^2-2\lambda =3\lambda_s\lambda_t-\lambda_s-\lambda_t,\\ 2\lambda^2-2\lambda=2\lambda_s\lambda_t-\lambda_s-\lambda_t,\end{cases}$$从而可得$$\begin{cases} \lambda^2=\lambda_s\lambda_t,\\ 2\lambda=\lambda_s+\lambda_t,\end{cases} $$由以上两式可得$$\lambda=\lambda_s=\lambda_t,$$于是$n=s=t$，矛盾．
综上所述，原命题得证．
注 若$a,b$为有理数，$x$为无理数，那么$a+bx=0$等价于$a=0$且$b=0$．