初高衔接[8]平面几何遗忘系列下

我们常常遇到的三角形的四心是内心、外心、重心与垂心:
(1)内心$I$是三角形的内切圆的圆心,是三角形的三个内角平分线的交点;
(2)外心$O$是三角形的外接圆的圆心,外心到三角形三个顶点的距离相等,是三边中垂线的交点;
(3)重心$G$是三角形三边中线的交点,且重心分中线的比为$2:1$(到顶点的距离是到对边中点的距离的两倍);
(4)垂心$H$是三角形三边的高的交点,垂心可能在三角形外(钝角三角形时).
屏幕快照 2016-07-28 下午3.52.54对于特殊的三角形,有些四心位置比较特殊,比如正三角形四心合一,又称为正三角形的中心;直角三角形的外心为斜边中点,垂心为直角顶点.


读者可以去尝试证明,三角形的三条内角平分线、三边中垂线、三条中线、三条高都交于一点.这里给出重心分中线比为2:1的一个证明:

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证明 设$G$是三角形$ABC$的两条中线$AM,BN$的交点,过$G$作$GD\parallel BC$交边$AC$于点$D$,如图:
屏幕快照 2016-07-29 上午10.53.23于是在$\triangle NBC$与$\triangle AMC$中有$$\begin{split} \dfrac {GD}{BC}=\dfrac {ND}{NC}=\dfrac {ND}{\frac 12AC},\\\dfrac {GD}{MC}=\dfrac {GD}{\frac 12BC}=\dfrac {AD}{AC}.\end{split}$$两边分别相比得$AD=4ND$,从而有$ND=\dfrac 13{NC}$.所以$$\dfrac {AG}{GM}=\dfrac {AD}{DC}=\dfrac {\frac 43NC}{\frac 23NC}=2.$$即重心分中心比为$2:1$,从而可知三条中线的交点两两重合,即三条中线交于一点.


例题一 (1)已知直角三角形$ABC$的三边长分别为$a,b,c$,其中$c$为斜边,证明:它的内切圆半径$r=\dfrac {a+b-c}{2}=\dfrac {ab}{a+b+c}$;
(2)求边长为$a$的正三角形的内切圆半径$r$与外接圆半径$R$;
(3)求边长为$5,5,6$的三角形的内切圆半径$r$与外接圆半径$R$.

分析与解 (1)如左图,记切点分别为$E,F,G$,则有$$AE=AG,GC=CF,EF=BF=r,$$所以有$a+b-c=EB+BF=2r$;再考虑三角形$ABC$的面积有$$S=\dfrac 12ab=\dfrac 12(a+b+c)r,$$得$r=\dfrac{ab}{a+b+c}$.通过面积计算内切圆半径是非常常用的方法.
屏幕快照 2016-07-29 下午2.32.43(2)如中间图,有$R=2r$且$R+r=\dfrac {\sqrt 3a}{2}$,所以$r=\dfrac{\sqrt 3a}{6},R=\dfrac {\sqrt 3a}{3}$;
(3)取$BC$的中点$M$,连结$AM$,则外心$O$在$AM$上,如右图.
先利用面积计算内切圆半径有$$S=\dfrac 12\times 6\times\sqrt{5^2-3^2}=12=\dfrac 12(5+5+6)r,$$解得$r=\dfrac 32$.
再结合图象求外接圆半径,有$$R^2=3^2+(4-R)^2,$$解得$R=\dfrac {25}{8}$.


例题二 已知$\triangle ABC$的重心为$G$,内心为$I$.
(1)若$GI\parallel BC$,求证:$AB+AC=2BC$;
(2)若$AB+AC=2BC$,求证:$GI\parallel BC$.
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分析与证明  连结$AI,AG$并延长分别交边$BC$于$E,D$两点,连结$BI$.
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由$G$为重心知,$AG:GD=2:1$.
(1)因为$IG\parallel BC$,所以$$\dfrac {AI}{IE}=\dfrac {AG}{GD}=\dfrac {2}{1}.$$因为$I$为重心,所以$BI$平分$\angle ABC$,由角平分线定理知$$\dfrac {AB}{BE}=\dfrac {AI}{IE}=\dfrac {2}{1}.$$连结$CG$,同理有$\dfrac {AC}{CE}=\dfrac {2}{1}$.由合比定理知$$\dfrac {AB+AC}{BE+CE}=\dfrac {AB+AC}{BC}=\dfrac {AB}{BE}=2,$$命题得证.

另法 分别过$A,G$分别作$BC$的垂线,交$BC$于$A',G'$.由$IG\parallel BC$且$G$为重心知$AA'=3GG'=3r$.于是$\triangle ABC$的面积$$S=\dfrac 12\cdot BC\cdot 3r=\dfrac 12\cdot (AB+BC+AC)\cdot r,$$化简得$AB+AC=2BC$.

(2)因为$AE$平分$\angle BAC$,所以$$\dfrac {BE}{CE}=\dfrac {AB}{AC},$$从而有$$BE=\dfrac {AB}{AB+AC}\cdot {BC}=\dfrac 12{AB}.$$
又因为$BI$平分$\angle ABC$,所以$$\dfrac{AI}{IE}=\dfrac {AB}{BE}=2=\dfrac {AG}{GD}.$$所以$IG\parallel BC$.


最后给出两道练习:

练习一 求边长为$10,10,13$的三角形内切圆半径$r$与外接圆的半径$R$.
答案 $r=\dfrac {10}{3},R=\dfrac {169}{24}$.

练习二 $\triangle ABC$的重心为$G$,内心为$I$,若$AB=6,BC=5,CA=4$,求$GI$的值.
答案 $\dfrac 13$.


我们有时称三角形的五心,包括这里没有提的三角形的旁心,旁心是指三角形的旁切圆的圆心,是三角形的外角平分线的交点,共有三个.有兴趣的读者可以在平面几何相关辅导书中找到.
另外,读者还可以尝试证明任何三角形的重心、垂心与外心三点共线,且重心分垂心与内心的比为$2:1$.过这三点的直线称为三角形的欧拉线.

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