集合{[x]+[2x]+[3x]∣x∈R}∩{1,2,3,⋯,100}共有_____个元素.
分析与解 记f(x)=[x]+[2x]+[3x],则f(x)={0,0⩽x<13,1,13⩽x<12,2,12⩽x<23,3,23⩽x<1,又f(x+1)=f(x)+6,因此集合{[x]+[2x]+[3x]∣x∈R}={⋯,0,1,2,3,6,7,8,9,12,13,14,15,⋯},也即模6余0,1,2,3的数,在集合{1,2,3,⋯,100}中共有67个.
思考与总结 事实上无需列举,直接计算f(x)在[0,1)上的最大值即可,当0⩽x<1时,[x]+[2x]+⋯+[kx]表示从0到k(k+1)2−k的所有整数(因为每当x跨过mn,和式的值增加1,其中n=k,k−1,⋯,2,m=1,2,⋯,n−1.所以其中所有的整数都可以取到.)