每日一题[583]元素知多少

集合{[x]+[2x]+[3x]xR}{1,2,3,,100}共有_____个元素.


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分析与解 记f(x)=[x]+[2x]+[3x],则f(x)={0,0x<13,1,13x<12,2,12x<23,3,23x<1,f(x+1)=f(x)+6,因此集合{[x]+[2x]+[3x]xR}={,0,1,2,3,6,7,8,9,12,13,14,15,},也即模60,1,2,3的数,在集合{1,2,3,,100}中共有67个.

思考与总结 事实上无需列举,直接计算f(x)[0,1)上的最大值即可,当0x<1时,[x]+[2x]++[kx]表示从0k(k+1)2k的所有整数(因为每当x跨过mn,和式的值增加1,其中n=k,k1,,2m=1,2,,n1.所以其中所有的整数都可以取到.)

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