每日一题[583]元素知多少

集合$\{[x]+[2x]+[3x]\mid x\in\mathcal R\}\cap \{1,2,3,\cdots ,100\}$共有_____个元素．

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分析与解　记$f(x)=[x]+[2x]+[3x]$，则

$$f(x)=\begin{cases} 0,&0\leqslant x<\dfrac 13,\\ 1,&\dfrac 13\leqslant x<\dfrac 12,\\ 2,&\dfrac 12\leqslant x<\dfrac 23,\\ 3,&\dfrac 23\leqslant x<1,\end{cases}$$ 又$f(x+1)=f(x)+6$，因此集合 $$\{[x]+[2x]+[3x]\mid x\in\mathcal R\}=\{\cdots,0,1,2,3,6,7,8,9,12,13,14,15,\cdots \},$$ 也即模$6$余$0,1,2,3$的数，在集合$\{1,2,3,\cdots ,100\}$中共有$67$个．

思考与总结　事实上无需列举，直接计算$f(x)$在$[0,1)$上的最大值即可，当$0\leqslant x<1$时，$[x]+[2x]+\cdots +[kx]$表示从$0$到$\dfrac{k(k+1)}2-k$的所有整数（因为每当$x$跨过$\dfrac {m}{n}$,和式的值增加$1$，其中$n=k,k-1,\cdots,2$，$m=1,2,\cdots,n-1$．所以其中所有的整数都可以取到．）