每日一题[581]多元对称式最值

设$x,y,z\in [0,1]$，则$\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}$的最大值是______．

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分析与解　由于$x,y,z$对称，因此不妨设$x\geqslant y\geqslant z$，于是

$$\begin{split} \sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}&=\sqrt{x-y}+\sqrt{y-z}+\sqrt{x-z}\\ &\leqslant \sqrt{2[(x-y)+(y-z)]}+\sqrt{x-z}\\ &=(\sqrt 2+1)\sqrt{x-z}\\&\leqslant \sqrt 2+1,\end{split}$$ 等号当$x=1,y=\dfrac 12,z=0$时取得．因此所求的最大值为$\sqrt 2+1$．

思考与总结　轮换式可以不妨设最大(小)数，对称式可以不妨设序．