直线的参数方程

我们熟悉了直线的点斜式方程、斜截式方程、一般式方程、两点式方程、截距式方程,前三种方程使用较多,其中一般式方程可以表示所有直线,且$x,y$前面的系数构成的实数对可以直接表示直线的法向量.这里我们要介绍的直线的参数方程.前面这些直线的方程又称为直线的普通方程,是直接给出了直线上任意一点的横、纵坐标$x,y$之间的关系.而参数方程是通过第三个变量去分别表示$x,y$,从而建立它们之间的关系的一种方程.比如参数方程$$\begin{cases} x=t,\\y=-t,\end{cases}(t\in\mathcal R)$$表示的点$(x,y)$的横纵坐标互为相反数,所以表示的是直线$y=-x$.

下面给出常用的直线的参数方程:

过点$P_0(x_0,y_0)$、倾斜角为$\theta$的直线的参数方程为$$\begin{cases} x=x_0+t\cos\theta,\\y=y_0+t\sin\theta,\end{cases}\theta\in[0,\pi).$$其中参数$t$表示点$P(x,y)$与$P_0$之间的有向线段的数量(有正负).当$\overrightarrow {P_0P}$与$(\cos\theta,\sin\theta)$方向一致时$t$为正,方向相反时$t$为负.
屏幕快照 2016-06-02 上午11.46.10当已知直线的方向向量为$(a,b)$时,直线的参数方程也可以直接写成$$\begin{cases} x=x_0+at,\\y=y_0+bt.\end{cases}$$此时,$t$的正负由向量$\overrightarrow {P_0P}$与方向向量的方向相同还是相反决定,且有$$|P_0P|=\sqrt{a^2+b^2}|t|.$$直线的参数方程在解决有某个共同起点的线段长度相关的问题中非常便捷.


例题一 已知直线$l$过点$M(-4,0)$,倾斜角为$\dfrac {\pi}{6}$.
(1)写出直线$l$的一个参数方程;
(2)若$l$上有一点$N$满足$|MN|=2$,求点$N$的坐标;
(3)若$l$与直线$m:y=x+4\sqrt 3$相交于点$A$,求$|MA|$.

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分析与解 (1)直线$l$的参数方程为\[\begin{cases} x=-4+\dfrac {\sqrt 3}{2}t,\\y=\dfrac 12t.\end{cases} (t\in \mathcal{R})\](2)直线上的一个点唯一对应一个$t$的值,而且$|t|$就表示这个点与$M$点之间的距离.所以$N$点对应的参数$t_N=\pm 2$,将$t=\pm 2$代入参数方程得点$N$的坐标为$(-4+\sqrt 3,1)$或$(-4-\sqrt 3,-1)$.

(3)将$l$的参数方程代入$m$中得$$\dfrac 12t=-4+\dfrac {\sqrt 3}{2}t+4\sqrt 3,$$解得$t=-8$,所以$|MA|=|-8|=8$.


例题二 过点$P(3,7)$,斜率为$k$的直线$l$与圆$x^2+y^2=25$交于$M,N$.
(1)若$k=2$,求弦$MN$的中点$Q$的坐标与弦长$MN$的值;
(2)证明:对任意$k$,有$PM\cdot PN$为定值,并求出这个定值.

分析与解 直线$l$的参数方程可以设为$$\begin{cases} x=3+t,\\y=7+kt, \end{cases} $$其中$t$为参数.将直线的参数方程代入圆中整理得$$(1+k^2)t^2+2(7k+3)t+33=0.$$记点$M,N$对应的参数为$t_1,t_2$.屏幕快照 2016-07-28 上午9.37.47(1)记$MN$的中点$Q$对应的参数为$t_0$,则有$t_0=\dfrac {t_1+t_2}{2}$,而$MN$的长度为$\sqrt{1+k^2}\cdot|t_1-t_2|$.当$k=2$时,联立方程为$$5t^2+34t+33=0,$$从而有$$t_1+t_2=-\dfrac {2(7\times 2+3)}{1+2^2}=-\dfrac {34}{5},$$所以$t_0=-\dfrac {17}{5}$,$Q$的坐标$$\left(3-\dfrac {17}{5},7-2\times \dfrac {17}{5}\right )=\left(-\dfrac 25,\dfrac 15\right ).$$下面计算$|t_1-t_2|$,由韦达定理知$$|t_1-t_2|^2=(t_1+t_2)^2-4t_1t_2=\dfrac {b^2-4ac}{a^2}=\dfrac {496}{25},$$所以$MN=\sqrt{1+4}\cdot\sqrt{\dfrac {496}{25}}=\dfrac 45\sqrt{135}$.

(2)由参数的意义知$$PM\cdot PN=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{1+k^2}|t_1t_2|=(1+k^2)\cdot\dfrac {33}{1+k^2}=33.$$即$PM\cdot PN$为定值,与$k$无关(注意:直线与圆相交与$k$有关,需要上面的方程有解,本问是在直线与圆相交的前提下的结论.)

另法 本题也可以设斜率为$k$直线的参数方程可以设为$$\begin{cases} x=3+\dfrac {1}{\sqrt{1+k^2}}t,\\y=7+\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2}}t, \end{cases} $$其中$t$为参数.将它代入圆的方程整理得$$t^2+\dfrac {2(3+7k)}{\sqrt{1+k^2}}t+33=0.$$此时对于(2),直接有$PM\cdot PN=|t_1t_2|=33$为定值.

 事实上,(2)就是切割线定理,对任意一个圆$O$与任意一个定点$P$,过$P$作直线$l$与圆有公共点$M,N$(可重合),有$$PM\cdot PN=|OP^2-r^2|$$为定值(其中$r$为圆$O$的半径),我们把这个值称为点$P$对圆$O$的“幂”,这个结论被称为圆幂定理.相交弦定理与切割线定理都是圆幂定理的一种情形.利用参数方程很容易证明这个一般结论,读者可以试试.


最后给出一道练习:

已知直线$l$经过点$P(1,-3\sqrt 3)$,倾斜角为$\dfrac {\pi}{3}$.
(1)求直线$l$与直线$m:y=x-2\sqrt 3$的交点$Q$的坐标与$PQ$的值;
(2)已知直线$l$和圆$x^2+y^2=16$有两个交点$A,B$,求弦$AB$的中点$M$坐标及$PA\cdot PB$的值.

答案 (1)$PQ=4+2\sqrt 3$,$Q(3+\sqrt 3,3-\sqrt 3)$;
(2)$M(3,-\sqrt 3)$,$PA\cdot PB=12$.

更多关于直线的参数方程的问题参见每日一招[12]直线的参数方程(高二)(传送门-方法技巧).

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