每日一题[581]多元对称式最值

设$x,y,z\in [0,1]$,则$\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}$的最大值是______.


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分析与解 由于$x,y,z$对称,因此不妨设$x\geqslant y\geqslant z$,于是\[\begin{split} \sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}&=\sqrt{x-y}+\sqrt{y-z}+\sqrt{x-z}\\ &\leqslant \sqrt{2[(x-y)+(y-z)]}+\sqrt{x-z}\\ &=(\sqrt 2+1)\sqrt{x-z}\\&\leqslant \sqrt 2+1,\end{split} \]等号当$x=1,y=\dfrac 12,z=0$时取得.因此所求的最大值为$\sqrt 2+1$.

思考与总结 轮换式可以不妨设最大(小)数,对称式可以不妨设序.

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