每日一题[568]巧借东风

已知f(x)=xlnxx1+a,其中a>0

(1) 求f(x)的单调性;

(2) 若g(x)=(x2x)f(x),且方程g(x)=m有两个不同的实根x1,x2,求证:x1+x2>1


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分析与解 (1) 函数f(x)的导函数f(x)=x1lnx(x1)2,而我们熟知lnxx1,因此f(x)0,因此函数f(x)(0,1)(1,+)上单调递增.

(2) 用反证法.假设x1+x21,不妨设x1<x2,则有x1,x2(0,1)(x1x2)(x1+x21)0,也即0>x21x1x22x2,结合f(x)>0,可得(x22x2)f(x2)=(x21x1)f(x1)(x22x2)f(x1),从而f(x2)f(x1),进而x2x1,与x1<x2矛盾.

综上,原命题得证.

 注意到y=x2x的对称轴恰好是x=12,结合第(1)小题的提示可以迅速化简问题.第二问常规解法见每日一题[483]函数的叠加,借助第(1)小题与二次函数对称轴的东风,给第(2)问提供了一个很妙的证法.

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