每日一题[568]巧借东风

已知$f(x)=\dfrac {x\ln x}{x-1}+a$，其中$a>0$．

(1) 求$f(x)$的单调性；

(2) 若$g(x)=(x^2-x)\cdot f(x)$，且方程$g(x)=m$有两个不同的实根$x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>1$．

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分析与解　(1) 函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x-1-\ln x}{(x-1)^2},$$ 而我们熟知$\ln x\leqslant x-1$，因此$f'(x)\geqslant 0$，因此函数$f(x)$在$(0,1)$和$(1,+\infty)$上单调递增．

(2) 用反证法．假设$x_1+x_2\leqslant 1$，不妨设$x_1<x_2$，则有$x_1,x_2\in (0,1)$且

$$(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)\geqslant 0,$$ 也即 $$0>x_1^2-x_1\geqslant x_2^2-x_2,$$ 结合$f(x)>0$，可得 $$(x_2^2-x_2)\cdot f(x_2)=(x_1^2-x_1)\cdot f(x_1)\geqslant (x_2^2-x_2)\cdot f(x_1),$$ 从而$f(x_2)\leqslant f(x_1)$，进而$x_2\leqslant x_1$，与$x_1<x_2$矛盾．

综上，原命题得证．

注　注意到$y=x^2-x$的对称轴恰好是$x=\dfrac 12$，结合第(1)小题的提示可以迅速化简问题．第二问常规解法见每日一题[483]函数的叠加，借助第(1)小题与二次函数对称轴的东风，给第(2)问提供了一个很妙的证法．