已知f(x)=xlnxx−1+a,其中a>0.
(1) 求f(x)的单调性;
(2) 若g(x)=(x2−x)⋅f(x),且方程g(x)=m有两个不同的实根x1,x2,求证:x1+x2>1.
分析与解 (1) 函数f(x)的导函数f′(x)=x−1−lnx(x−1)2,而我们熟知lnx⩽x−1,因此f′(x)⩾0,因此函数f(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递增.
(2) 用反证法.假设x1+x2⩽1,不妨设x1<x2,则有x1,x2∈(0,1)且(x1−x2)(x1+x2−1)⩾0,也即0>x21−x1⩾x22−x2,结合f(x)>0,可得(x22−x2)⋅f(x2)=(x21−x1)⋅f(x1)⩾(x22−x2)⋅f(x1),从而f(x2)⩽f(x1),进而x2⩽x1,与x1<x2矛盾.
综上,原命题得证.
注 注意到y=x2−x的对称轴恰好是x=12,结合第(1)小题的提示可以迅速化简问题.第二问常规解法见每日一题[483]函数的叠加,借助第(1)小题与二次函数对称轴的东风,给第(2)问提供了一个很妙的证法.