每日一题[567]代数式的最值

已知a,b,c为直角三角形的三边长,则a3+b3+c3abc的最小值是_____.


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分析与解 不妨设c为斜边,即a2+b2=c2,其中a,b,c>0

三角换元 令a=ccosθb=csinθ,则a3+b3+c3abc=sin3θ+cos3θ+1sinθcosθ=(sinθ+cosθ)(sin2θsinθcosθ+cos2θ)+1sinθcosθ.x=sinθ+cosθx(1,2],则sinθcosθ=x212,且a3+b3+c3abc=x2+x+2x1=x+2x1,右侧函数显然单调递减,因此原式的最小值为2+2

齐次消元 不妨设c=1,则a2+b2=1,且a,b>0.此时a3+b3+c3abc=a3+b3+1ab(a2+b2)2a+b+1ab12a2+b22+1a2+b22=2+2,等号当a=b=22时取得.因此原式的最小值为2+2

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