每日一题[567]代数式的最值

已知$a,b,c$为直角三角形的三边长，则$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}$的最小值是_____．

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分析与解　不妨设$c$为斜边，即$a^2+b^2=c^2$，其中$a,b,c>0$．

三角换元　令$a=c\cos\theta$，$b=c\sin\theta$，则

$$\begin{split} &\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}\\=&\dfrac{\sin^3\theta+\cos^3\theta+1}{\sin\theta\cdot \cos\theta}\\=&\dfrac{(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cdot\cos\theta+\cos^2\theta)+1}{\sin\theta\cdot\cos\theta}. \end{split}$$ 令$x=\sin\theta+\cos\theta$，$x\in \left(1,\sqrt 2\right]$，则$\sin\theta\cdot\cos\theta = \dfrac{x^2-1}2$，且 $$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\dfrac{-x^2+x+2}{x-1}=-x+\dfrac{2}{x-1},$$ 右侧函数显然单调递减，因此原式的最小值为$2+\sqrt 2$．

齐次消元　不妨设$c=1$，则$a^2+b^2=1$，且$a,b>0$．此时

$$\begin{split} \dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}=&\dfrac{a^3+b^3+1}{ab}\geqslant \dfrac{\dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b}+1}{ab}\\\geqslant &\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}}+1}{\dfrac{a^2+b^2}2}\\=&2+\sqrt 2, \end{split}$$ 等号当$a=b=\dfrac{\sqrt 2}2$时取得．因此原式的最小值为$2+\sqrt 2$．