已知a,b,c为直角三角形的三边长,则a3+b3+c3abc的最小值是_____.
分析与解 不妨设c为斜边,即a2+b2=c2,其中a,b,c>0.
三角换元 令a=ccosθ,b=csinθ,则a3+b3+c3abc=sin3θ+cos3θ+1sinθ⋅cosθ=(sinθ+cosθ)(sin2θ−sinθ⋅cosθ+cos2θ)+1sinθ⋅cosθ.令x=sinθ+cosθ,x∈(1,√2],则sinθ⋅cosθ=x2−12,且a3+b3+c3abc=−x2+x+2x−1=−x+2x−1,右侧函数显然单调递减,因此原式的最小值为2+√2.
齐次消元 不妨设c=1,则a2+b2=1,且a,b>0.此时a3+b3+c3abc=a3+b3+1ab⩾(a2+b2)2a+b+1ab⩾12√a2+b22+1a2+b22=2+√2,等号当a=b=√22时取得.因此原式的最小值为2+√2.