初高衔接[5]解不等式(1)

快速解一元二次不等式是高中数学的一项重要基本功,一元二次不等式、二次函数与一元二次方程关系紧密,熟练地解一元二次不等式需要熟悉二次函数的草图画法、一元二次方程的根的判别式以及因式分解中的十字相乘法.

以解$ax^2+bx+c>0,a\ne 0$为例,解此不等式的基本想法是:首先,不等式的解集就是一元二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象在$x$轴上方的部分(因为$y>0$对应$x$轴上方)对应的横坐标的范围,所以画出对应二次函数的图象即可结合图象得到解集.其次,画图时,重要的是二次函数与$x$轴的交点与开口方向(注意,如果是求函数值的取值范围,那么重要的就是顶点坐标与开口方向了,不同目的下需要的形式不同!),而二次函数与$x$轴的交点的个数取决于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的个数,所以需要计算判别式$\Delta$的正负;最后,得到了方程的解,结合开口方向就得到了草图,再结合不等号方向就可以写出解集了.

解一元二次不等式的一般步骤:
(1)先将二次项系数$a$化为正数(不是必须的步骤,习惯化为正,以减少失误);
(2)计算对应的一元二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$:
①若$\Delta<0$,则对应图象在$x$轴上方;
②若$\Delta =0$,则对应图象与$x$轴有且只有一个交点$\left(-\dfrac {b}{2a},0\right )$;
③若$\Delta>0$,则对应图象与$x$轴有两个交点$x_1,x_2$,先再考虑对左边进行十字相乘(优先),无法分解再考虑利用求根公式.
屏幕快照 2016-08-03 下午3.08.17(3)作出函数草图,结合不等号方向得到解集.不等号为$>,<$时,可以将根标为空心点,解集中不包含它们;当不等式为$\geqslant ,\leqslant$时,可以将根标为实心点,解集中包含它们. 

一般来说,如果判别式为完全平方数(或者是可以开平方得到有理数的数),那么通常可以十字相乘,如果不能,就只能利用求根公式了.这里的步骤主要针对不等式不含参的情况.(注意:考虑到一部分新高一的读者没有学过集合,这里的解集沿用初中的形式,在高中解集必须用集合表示)


例题一 解不等式:

(1)$-x^2+3x-2>0$;
(2)$10x^2-13x-3\geqslant 0$;
(3)$-x^2+x-1\geqslant 0$;
(4)$x^2+4x+4>0$;
(5)$x^2-4x+1\leqslant 0$.

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分析与解 (1)首先将二次项系数化为正,得到$x^2-3x+2<0$;左边可以因式分解,于是知二次函数图象与$x$轴的交点为$(1,0),(2,0)$,开口向上得到草图;最后根据不等号方向知考虑$x$轴下方的部分,解集为两根之间:
屏幕快照 2016-08-03 下午3.02.24所以不等式的解集为$1<x<2$(集合形式为$\{x|1<x<2\}$).

(2)左边因式分解得$$(5x+1)(2x-3)\geqslant 0,$$对应两根为$-\dfrac 15,\dfrac 32$,结合图象知解集为两根之外:
屏幕快照 2016-08-03 下午3.11.24所以不等式的解集为$x\leqslant -\dfrac 15$或$x\geqslant \dfrac 32$(集合形式为$\left\{x\left|x\leqslant -\dfrac 15\lor x\geqslant \dfrac 32\right.\right \}$).

(3)不等式即$x^2-x+1\leqslant 0$,此不等式对应的$\Delta=1-4<0$,所以函数图象恒在$x$轴上方,不等式无解(集合形式为$\varnothing$);

(4)不等式对应的$\Delta=0$,函数图象与$x$轴仅有一个交点,所以不等式的解集为$x\ne -2$(集合形式为$\left\{x\left|\right.x\ne -2\right \}$).

(5)不等式对应的$\Delta =12>0$,不是完全平方数,函数图象与$x$轴有两个交点,用求根公式解得对应方程的两解为$2\pm\sqrt 3$.结合图象知解集为两根之间,所以不等式的解集为$2-\sqrt 3\leqslant x\leqslant 2+\sqrt 3$.(集合形式为$\left\{x\left|2-\sqrt 3\leqslant x\leqslant 2+\sqrt 3\right.\right\}$)


注1 含参的一元二次不等式的解集我们会在高一再讨论.

注2 “$\lor$”表示“或”,“$\land$”表示“且”,因为符号中间无法插入汉字,所以“或”与“且”会用$\lor$与$\land$表示.


只含有一个未知数,且未知数次数高于两次的不等式称为高次不等式.对于一侧为零,另一侧因式分解为一次式的高次不等式,我们可以求解,通过具体例题来看:解不等式$$(x+1)(x-1)(x-2)>0.$$我们尝试画出三次函数$y=(x+1)(x-1)(x-2)$的正负示意图(只关心图象是在$x$轴上方还是下方,并且不需要$y$轴):
首先,画出图象与数轴的三个交点$-1,1,2$;
其次,在每个交点左右两侧函数值的正负都会发生变化;
最后,在$2$的右侧($x>2$时)函数值为正;
于是我们用一条光滑的曲线从$2$的右上方开始画图,依次穿过各个交点,如下:屏幕快照 2016-07-11 上午9.24.50不等式的解集对应$y>0$的部分,即图象在$x$轴上方的部分对应的横坐标的范围是不等式解集,所以是$-1<x<1$或$x>2$.


如果高次不等式为$$(x+1)(x-1)^2(x-2)(x-3)<0,$$那么我们会发现,在数轴上$1$的左右两侧多项式符号相同,也就是从$1<x<2$这段到$-1<x<1$这段上,图象始终在$x$轴同一侧,不用穿过$x$轴,所以示意图如下:屏幕快照 2016-07-11 上午9.45.12我们将这个规律简单表述为:奇穿偶不穿,即如果一个因式的次数是偶次的,那么图象在该点不穿过$x$轴.由示意图知,不等式解集为$x<-1$或$2<x<3$.


这种解高次不等式的方法我们称为穿根法,通常步骤是:
①将不等式最高次项系数化为正,再因式分解;
②将对应的方程的根标在数轴上,将数轴分成若干段;
③从最右边一段开始,从$x$轴上方开始穿$x$轴,奇穿偶不穿;
④根据不等式符号,结合示意图得到解集.


例题二 解高次不等式:

(1)$x^3(x+1)(x-1)^2(x-3)\geqslant 0$;
(2)$(x^3-x^2-4x+4)(x^2+x+2)<0$;
(3)$(x^2+4x+4)(-x^2-x+2)(x^2-5x+4)\leqslant 0$.

分析与解 (1)因为等号可以取到,所以对应的方程的根取实心点,由穿根法知示意图如下:屏幕快照 2016-07-11 上午10.04.02于是知不等式解集为$-1\leqslant x\leqslant 0$或$x=1$或$x\geqslant 3$.

(2)由判别式知$x^2+x+2>0$恒成立,于是不等式等价于$$x^3-x^2-4x+4<0.$$由猜根法或因式分解得$(x+2)(x-1)(x-2)<0$,从而知解集为$x<-2$或$1<x<2$.

(3)首先将不等式左边因式分解,再将最高次项系数化为正,得到$$(x+2)^3(x-1)^2(x-4)\geqslant 0,$$结合示意图知不等式解集为$x\leqslant -2$或$x=1$或$x\geqslant 4$.


最后给出一组练习:

解不等式:
(1)$4x^2+4x-15\geqslant 0$;
(2)$4x^2+4x+15\geqslant 0$;
(3)$4x^2+4x+1\leqslant 0$;
(4)$-2x^2+2x+3>0$;
(5)$(x+2)^2(x+1)(x-1)^3(x-2)<0$;
(6)$6x^3-5x^2-2x+1\leqslant 0$.

答案 (1)$x\leqslant -\dfrac 52$或$x\geqslant \dfrac 32$;
(2)全体实数;
(3)$x=-\dfrac 12$;
(4)$\dfrac {1-\sqrt 7}{2}<x<\dfrac {1+\sqrt 7}{2}$;
(5)$x<-2$或$-2<x<-1$或$1<x<2$;
(6)$x\leqslant -\dfrac 12$或$\dfrac 13\leqslant x\leqslant 1$.

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