每日一题[561]以直代曲

已知$x\in (0,{\rm e})$，求证：$\dfrac{({\rm e}^2-{\rm e}^2\ln x+x)^2}{\ln ^2x+2\ln x+2}>\dfrac{{\rm e}^2}5$．

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分析与证明　题中不等式等价于

$$\left({\rm e}^{\ln x-1}-{\rm e}(\ln x-1)\right)^2>\dfrac 15(\ln^2x+2\ln x+2),$$ 令$t=\ln x-1$($t<0$)，则不等式等价于 $$\left({\rm e}^t-{\rm e}t\right)^2>\dfrac 15t^2+\dfrac 45t+1.$$ 取函数$y={\rm e}^t-{\rm e}t$在$t=0$处的切线，有 $${\rm e}^t-{\rm e}t> (1-{\rm e})t+1,t<0,$$ 因此 $$\left({\rm e}^t-{\rm e}t\right)^2>\left[(1-{\rm e})t+1\right]^2=({\rm e}-1)^2t^2-2({\rm e}-1)t+1,$$ 而当$t<0$时，有 $$({\rm e}-1)^2t^2>\dfrac 15t^2,-2({\rm e}-1)t>\dfrac 45t,$$ 因此原不等式得证．

注　利用切线将曲线放缩成直线是处理函数不等式的重要方法．