每日一题[557]横看成岭侧成峰

已知函数$f(x)=3ax^2+2bx+(b-a)$，求证：$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点．

分析与解　可以从零点的存在性定理和函数的形式两个方面入手．

法一　零点定理　显然当$a=0$时，$f(x)$有零点$x=-\dfrac 12$，符合题意．接下来讨论$a\neq 0$的情形，此时问题等价于证明函数$g(x)=3x^2+2tx+(t-1)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点，其中$t=\dfrac ba$．考虑到$g(-1)=2-t$，而$g(0)=t-1$，因此讨论如下．

情形一　$g(-1)\cdot g(0)<0$，即$t<1$或$t>2$．

此时根据零点的存在性定理，符合题意．

情形二　$g(-1)\cdot g(0)\geqslant 0$，即$1\leqslant t\leqslant 2$．

此时函数$g(x)$的对称轴$x=-\dfrac t3$在区间$(-1,0)$内，而其判别式 $$\Delta=(2t)^2-4\cdot 3\cdot (t-1)=4(t^2-3t+3)>0.$$ 考虑到$g(-1)$和$g(0)$中至少有一个为正数，符合题意．

综上所述，$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点．

注　考虑$g\left(-\dfrac 12\right)=-\dfrac 14$，结合$g(-1)$和$g(0)$中至少有一个为正数亦可．

法二　函数的形式　注意到函数$f(x)$是 $$F(x)=ax^3+bx^2+(b-a)x$$ 的导函数．而$F(-1)=F(0)=0$，于是函数$F(x)$在区间$(-1,0)$内不单调，因此$F'(x)$在区间$(-1,0)$内必然有正有负，必然有零点．这样就证明了$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点．

更多解法见每日一题[386]分离变量法．