每日一题[548]一波三折

已知关于$x$的方程$x\ln x^2+a=x\ln a+x^2$有$4$个实数根，求$a$的取值范围．

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分析与解    将问题转化为函数

$$f(x)=\ln x^2-x+\dfrac ax-\ln a$$ 有$4$个零点．函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)=\dfrac{-x^2+2x-a}{x^2}.$$

情形一    $x<0$．

此时$f(x)$单调递减，而在$(-\infty,0)$上的值域为$(-\infty,+\infty)$，因此函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上必然有$1$个零点．

情形二    $x>0$．

此时函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上有$3$个零点，因此其导函数至少有$2$个零点，因此可得$0<a<1$，此时极小值点$x=x_1$和极大值点$x=x_2$是方程

$$x^2-2x+a=0$$ 的两根，且$0<x_1<1<x_2$．

将$a=-m^2+2m$代入极值

$$M=f(m)=\ln m^2-m+\dfrac am-\ln a,$$ 可得 $$M=\ln \dfrac{m}{2-m}+2(1-m),$$ 令$t=\dfrac{m}{2-m}$，则有 $$M=\ln t-2\cdot\dfrac{t-1}{t+1},$$ 于是可得 $$\left.M\right|_{m=x_1}<0<\left.M\right|_{m=x_2},$$ 因此当$0<a<1$时，函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上有$3$个零点．

综上所述，$a$的取值范围是$(0,1)$．

这种将函数的零点问题转化为导函数的零点问题的手段，在处理2015年江苏压轴题的时候也出现过．

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练习1、已知关于$x$的方程$x^2\ln x=a\ln a-a\ln x$有$3$个实根，求$a$的取值范围．

练习2、已知关于$x$的方程$x^2\ln a=x^2\ln x+a\ln x$有$3$个实根，求$a$的取值范围．

答案    练习1、$\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^2}\right)$．

练习2、$({\rm e}^2,+\infty)$．

提示    注意适当利用$t=x^2$的换元简化问题．