空集优先

空集是一个特殊的集合,它有一些特殊的规定,如空集是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.在遇到与集合的关系或运算相关的问题时,优先考虑空集的可能性,避免错误.

例题 (1)已知集合$A=\{x|x^2+4x+3=0\}$,$B=\{x|x^2+2(a-1)x+a^2-6=0\}$,$C=\{x|bx-1=0\}$.若$A\cap B=B$,则实数$a$的取值范围是_________;若$A\cup C=A$,则实数$b$组成的集合是________.

(2)已知集合$A=\{x|a-1<x<2a+1\}$,$B=\{x|0<x<5\}$,若$A\subsetneqq B$,则实数$a$的取值范围是__________.

(3)已知集合$A=\left\{x\left|\dfrac {x-4}{x+1}\leqslant 0\right.\right\}$,集合$B=\{x|(x-2a)(x-a^2-1)<0\}$,若$A\cap B=\varnothing$,则实数$a$的取值范围是_______.

(4)已知集合\(A = \left\{ {x \left|\right. p{x^2} +px + 1 = 0 , p \in {\mathcal{R}}} \right\}\),\(B=\{x|x>0\}\),若\(A \cap B = \varnothing \),则\(p\)的取值范围是_______.

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答案 (1)$\{3\}\cup\left(\dfrac 72,+\infty\right)$,$\left\{0,-1,-\dfrac 13\right\}$.
(2)$(-\infty,-2]\cup [1,2]$;
(3)$\{1\}\cup[2,+\infty)$;
(4)$[0,+\infty)$.

分析与解 (1)$A=\{-1,-3\}$,题意即$B,C$均为$A$的子集,所以集合$B,C$均可为空集.

集合$B$中的一元二次方程对应的判别式$$\Delta=4(a-1)^2-4(a^2-6)=4(7-2a),$$当$\Delta <0$,即$a>\dfrac 72$时,$B=\varnothing$满足题意;
当$\Delta =0$,即$a=\dfrac 72$时,$B=\left\{-\dfrac 52\right \}$不满足题意;
当$\Delta >0$时,必然有$A=B=\{-1,-3\}$,从而解得$a=3$.

集合$C$中的方程当$b=0$时无解,满足题意;
当$b\ne 0$时,$B=\left\{\dfrac 1b\right \}$,所以$\dfrac 1b$可以等于$-1$或$-3$,解得$$b=-1\lor -\dfrac 13.$$
(2)注意集合$A$为空集的条件是$a-1\geqslant 2a+1$,解得$a\leqslant -2$;
当$A\ne \varnothing$时,结合数轴知$$\begin{cases} a-1\geqslant 0,\\2a+1\leqslant 5,\\a-1<2a+1.\end{cases} $$且等号不能同时取到,解得$1\leqslant a\leqslant 2$.

(3)注意集合$A$是半开半闭区间$A=(-1,4]$.
因为$a^2+1\geqslant 2a$,所以当$a=1$时,集合$B$是空集;
当$a\ne 1$时,$B=(2a,a^2+1)$,结合数轴时,$2a\geqslant 4$时满足题意.

(4)对于$A$中的方程,首先考虑$p=0$,此时$A=\varnothing$满足题意;
当$p\ne 0$且$\Delta=p(p-4)$.
若$\Delta<0$,即$0<p<4$时,$A=\varnothing$满足题意;
当$p<0$时,$A$中方程有一正根一负根,不满足要求;
当$p\geqslant 4$时,$B$中方程有两个负根(由两根和为负,两根积为正知)满足题意.


最后给出一组练习:

(1)已知集合\(A = \left\{ {x \left|\right.- 2 \leqslant x \leqslant 7} \right\}\),\(B = \left\{ {x\left|\right.m + 1 < x < 2m-1} \right\}\) ,若\(A \cup B = A\),则实数\(m\)的取值范围是 ____;

(2)已知集合$A=\{x|-2<x\leqslant 2\}$,集合$B=\{x|x^2-4ax+3a^2<0\}$,若$B\cap A=\varnothing$,则实数$a$的取值范围是__________.

(3)已知方程$x^2+(2-a)x+1=0$的解集为$A$,且$A\cap(-\infty,0]=\varnothing$,则实数$a$的取值范围是_______.

答案 (1)\(\left({-\infty,4} \right]\) ;注意$B$为空集的情形;

(2)$(-\infty,-2]\cup\{0\}\cup[2,+\infty)$;当$a=0$时,$B$为空集;

(3)$(0,+\infty)$;方程可能没有根,也可能只有正根.

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