每日一题[549]合理转化

已知函数$f(x)=x^2+ax+1$,存在$x_0$使$|f(x_0)|$与$|f(x_0+1)|$均不大于$\dfrac 14$,求实数$a$的取值范围.


cover

分析与解 题意即在不等式$$-\dfrac 14\leqslant x^2+ax+1\leqslant \dfrac 14$$的解集中存在两个距离为$1$的数.设方程$x^2+ax+1=\dfrac 14$和方程$x^2+ax+1=-\dfrac 14$的判别式分别为$\Delta_1=a^2-3$和$\Delta_2=a^2-5$.

cover

情形一 $\Delta_1\geqslant 0$且$\Delta_2\leqslant 0$.

此时不等式解集的长度为$\sqrt{a^2-3}\geqslant 1$,从而$4\leqslant a^2\leqslant5$.

情形二 $\Delta_2>0$.

此时不等式的解集为两个区间的并集.注意到每个区间的长度均为$$\dfrac{\sqrt{a^2-3}-\sqrt{a^2-5}}2=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-3}+\sqrt{a^2-5}}<1,$$于是问题转化为两个区间内的点之间的距离的最小值$\sqrt{a^2-5}\leqslant 1$,且距离的最大值$\sqrt{a^{2}-3}\geqslant 1$,即$5<a^2\leqslant 6$.

综上所述,实数$a$的取值范围是$[-\sqrt 6,-2]\cup [2,\sqrt 6]$.

总结 问题的关键在于考虑区间的长度问题,从这个角度出发可以有很多形式各异本质相同的解法.更多相关问题见每日一题[412]近零点

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论