每日一题[539]取等条件

设$a,b,c,d\in\mathcal R$，且$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$，求

$$a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$$ 的最小值．

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分析与解    根据已知条件的形式，考虑利用柯西不等式．引入参数，有

$$\begin{split} \sqrt{10}&=(1-\lambda)a+(2-\lambda)b+(3-\lambda)c+(4-\lambda)d+\lambda (a+b+c+d)\\ &\leqslant \sqrt{(1-\lambda)^2+(2-\lambda)^2+(3-\lambda)^2+(4-\lambda)^2+\lambda ^2}\cdot \sqrt M,\end{split}$$ 其中$M=a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$．考虑到等号取得的条件，有 $$(1-\lambda)+(2-\lambda)+(3-\lambda)+(4-\lambda)=\lambda,$$ 解得$\lambda=2$，于是 $$\sqrt {10}\leqslant \sqrt{10}\cdot \sqrt M,$$ 从而$M$的最小值为$1$，当$(a,b,c,d)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},0,\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{2}{\sqrt{10}}\right)$时取得．

下面给出一个练习题．

已知$a,b>0$，$\dfrac{8}{a^2}+\dfrac 1b=1$，求$a+b$最小值．

答案    $6$

提示    考虑

$$\dfrac{8}{a^2}+\lambda a+\lambda a+\dfrac 1b+2\lambda b,$$ 可根据等号取得的条件得到$\lambda=\dfrac 18$．