设$a,b,c,d\in\mathcal R$，且$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$，求$$a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$$的最小值．
分析与解 根据已知条件的形式，考虑利用柯西不等式．引入参数，有\[\begin{split} \sqrt{10}&=(1-\lambda)a+(2-\lambda)b+(3-\lambda)c+(4-\lambda)d+\lambda (a+b+c+d)\\ &\leqslant \sqrt{(1-\lambda)^2+(2-\lambda)^2+(3-\lambda)^2+(4-\lambda)^2+\lambda ^2}\cdot \sqrt M,\end{split} \]其中$M=a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$．考虑到等号取得的条件，有$$(1-\lambda)+(2-\lambda)+(3-\lambda)+(4-\lambda)=\lambda,$$解得$\lambda=2$，于是$$\sqrt {10}\leqslant \sqrt{10}\cdot \sqrt M,$$从而$M$的最小值为$1$，当$(a,b,c,d)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},0,\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{2}{\sqrt{10}}\right)$时取得．
下面给出一个练习题．
已知$a,b>0$，$\dfrac{8}{a^2}+\dfrac 1b=1$，求$a+b$最小值．
答案 $6$
提示 考虑$$\dfrac{8}{a^2}+\lambda a+\lambda a+\dfrac 1b+2\lambda b,$$可根据等号取得的条件得到$\lambda=\dfrac 18$．