每日一题[521]含参均值不等式

设$a,b,c$是不全为$0$的实数,求$\dfrac{ab+bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$的最大值和最小值.


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分析    我们知道均值不等式$$ab\leqslant \dfrac{a^2+b^2}2$$可以用来将$ab$转化为$a^2+b^2$.因此可以抓住这一点,利用参数对其进行改造,使得$a^2$与$b^2$的系数变得可以调整,如$$\lambda a\cdot b\leqslant \dfrac{\lambda^2a^2+b^2}2,$$也即$$ab\leqslant \dfrac {\lambda}2a^2+\dfrac{1}{2\lambda}b^2,$$其中$\lambda>0$,且等号当$\lambda a=b$时取得.此外,当$\lambda<0$时,亦有$$ab\geqslant \dfrac {\lambda}2a^2+\dfrac{1}{2\lambda}b^2,$$等号当$\lambda a=b$时取得.

   利用含参的均值不等式可得$$ab+bc+c^2\leqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$其中$\lambda,\mu>0$,且$$ab+bc+c^2\geqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$其中$\lambda,\mu<0$.

解方程组$$\begin{cases} \dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2=\lambda,\\ \dfrac{1}{2\mu}+1=\dfrac {3\lambda}2,\end{cases} $$可得$(\lambda,\mu)=(1,1),\left(-\dfrac{1+\sqrt{13}}6,\dfrac{\sqrt{13}-5}6\right),\left(\dfrac{\sqrt{13}-1}6,-\dfrac{\sqrt{13}+5}6\right)$.舍去最后一组$\lambda,\mu$异号的解,可得$$-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}(a^2+2b^2+3c^2)\leqslant ab+bc+c^2\leqslant \dfrac 12(a^2+2b^2+3c^2),$$左边等号当$$a:b:c=18:-3-3\sqrt{13}:2\sqrt{13}-4$$时取得,右边等号当$$a:b:c=1:1:1$$时取得.

综上,$\dfrac{ab+bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$的最大值是$\dfrac 12$,最小值是$-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}$.

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