每日一题[522]统一起点化干戈

如图，正方形$ABCD$中，$E$为$AB$的中点，$P$为以$A$为圆心的弧$BD$上一点(包含端点)，且$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{DE}+\mu\overrightarrow{AP}$，求$\lambda+\mu$的取值范围．

解    根据题意，有 $$\begin{split} \mu \overrightarrow{AP}&=\overrightarrow{AC}-\lambda (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}) \\ &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac 12\lambda\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AD}\\ &=\left(1-\dfrac 12\lambda\right)\overrightarrow{AB}+\left(1+\lambda\right)\overrightarrow{AD},\end{split}$$ 由于$P$在圆弧$BD$上运动，因此 $$\left(1-\dfrac 12\lambda\right)\cdot \left(1+\lambda\right)\geqslant 0,$$ 解得 $$-1\leqslant \lambda \leqslant 2,\mu\geqslant 0.$$

于是 $$\mu\overrightarrow{AP}\cdot \mu\overrightarrow{AP}=\left[\left(1-\dfrac 12\lambda\right)\overrightarrow{AB}+(1+\lambda)\overrightarrow{AD}\right]\cdot\left[\left(1-\dfrac 12\lambda\right)\overrightarrow{AB}+(1+\lambda)\overrightarrow{AD}\right],$$ 从而 $$\mu^2=\left(1-\dfrac 12\lambda \right)^2+(1+\lambda)^2,$$ 由$(1+\lambda )^2\geqslant 0,\mu\geqslant 0,1-\dfrac 12\lambda \geqslant 0$得到 $$\lambda+\mu\geqslant \lambda+\left(1-\dfrac 12\lambda\right) =1+\dfrac 12\lambda\geqslant \dfrac 12,$$ 等号当且仅当$\lambda=-1$时取得，而 $$\lambda+\mu\leqslant \lambda + \left(1-\dfrac 12\lambda +1+\lambda\right)=2+\dfrac 32\lambda \leqslant 5,$$ 等号当且仅当$\lambda =2$时取得．

综合连续性，可得$\lambda+\mu$的取值范围是$\left[\dfrac 12,5\right]$．

注　本题也可以通过共线向量的系数和关系，直接结合图象得到范围，将正方形$ABCD$往下平移，使得两个正方形恰有一条边重合，如图，记$F$为$E$平移后得到的点，则$\overrightarrow {DE}=\overrightarrow {AF}$，于是 $$\overrightarrow {AC}=\lambda \overrightarrow {AF}+\mu\overrightarrow {AP}.$$

连结$PF$，交$AB$于点$N$，过$C$作$PF$的平行线交$AB$或其延长线于点$M$，则有 $$\lambda+\mu=\dfrac {AM}{AN}.$$ 当点$P$与点$B$移动到点$D$时，$AN$从$1$（正方形边长）减少到$\dfrac 14$；同时$AM$的长从$\dfrac 12$增加到$\dfrac 54$，从而得到$\lambda +\mu\in\left[\dfrac 12,5\right ]$，动图如下：

类似这样的思路可以不考虑与$AB$的交点，考虑$BF$与$AC$及其延长线的交点，由交点的位置去得到$\lambda +\mu$的值．