若不等式(1x−1+a)⋅lnx>1对一切x>0且x≠1均成立,求实数a的值.
分析 首先分析端点,当x→0和x→+∞时,可得0⩽a⩽1.于是可得1x−1+a=ax−a+1x−1
的分子部分恒正,接下来利用它“清君侧”即可.
解 易知0⩽a⩽1,于是原不等式等价于φ(x)=lnx−x−1ax−a+1{<0,0<x<1,>0,x>1.
注意到φ(1)=0,而其导函数φ′(x)=[a2x−(1−a)2]⋅(x−1)x(ax−a+1)2,
接下来根据a与12的大小关系展开讨论.
第一种情形,a=12.此时在(0,+∞)上,φ′(x)⩾0,于是φ(x)在(0,+∞)上单调递增,结合φ(1)=0,符合题意;
第二种情形,a=0.此时在(1,+∞)上,φ′(x)<0,于是在(1,+∞)上,φ(x)<φ(1)=0,不符合题意;
第三种情形,0<a<12.此时在(1,(1a−1)2)上,φ′(x)<0,于是在(1,(1a−1)2)上,φ(x)<φ(1)=0,不符合题意;
第四种情形,12<a⩽1.此时在((1a−1)2,1)上,φ′(x)<0,于是在((1a−1)2,1)上,φ(x)>φ(1)=0,不符合题意.
综上,实数a的值为12.
此时函数y=(1x−1+12)⋅lnx−1的图象如图:
下面附上一道练习题.
已知f(x)=ln(x+1)ex−1+ax.若对任意x>−1且x≠0,均有f(x)>1恒成立,求实数a的值.
答案 1.
老师,我发现这样的问题总是在函数取不到的极限处取得参数的值。如例题中a的值为函数F(x)=1/lnx -1/(x-1)在x=1处取得的极限。
这其中是否有必要的联系?