每日一题[488]两边夹

若不等式(1x1+a)lnx>1对一切x>0x1均成立,求实数a的值.


fanhonghua-002

分析    首先分析端点,当x0x+时,可得0a1.于是可得1x1+a=axa+1x1

的分子部分恒正,接下来利用它“清君侧”即可.

   易知0a1,于是原不等式等价于φ(x)=lnxx1axa+1{<0,0<x<1,>0,x>1.

注意到φ(1)=0,而其导函数φ(x)=[a2x(1a)2](x1)x(axa+1)2,
接下来根据a12的大小关系展开讨论.

第一种情形,a=12.此时在(0,+)上,φ(x)0,于是φ(x)(0,+)上单调递增,结合φ(1)=0,符合题意;

第二种情形,a=0.此时在(1,+)上,φ(x)<0,于是在(1,+)上,φ(x)<φ(1)=0,不符合题意;

第三种情形,0<a<12.此时在(1,(1a1)2)上,φ(x)<0,于是在(1,(1a1)2)上,φ(x)<φ(1)=0,不符合题意;

第四种情形,12<a1.此时在((1a1)2,1)上,φ(x)<0,于是在((1a1)2,1)上,φ(x)>φ(1)=0,不符合题意.

综上,实数a的值为12

此时函数y=(1x1+12)lnx1的图象如图:

QQ20160506-0

下面附上一道练习题.

已知f(x)=ln(x+1)ex1+ax.若对任意x>1x0,均有f(x)>1恒成立,求实数a的值.

答案    1

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每日一题[488]两边夹》有一条回应

  1. Avatar photo 天堂s终极说:

    老师,我发现这样的问题总是在函数取不到的极限处取得参数的值。如例题中a的值为函数F(x)=1/lnx -1/(x-1)在x=1处取得的极限。
    这其中是否有必要的联系?

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