每日一题[518]四两拨千斤

已知$f(x)=ax^2+|x-a|+b$，若对于任意$b\in [0,1]$和任意$x\in [-3,3]$均有$|f(x)|\leqslant 2$恒成立，求$a$的取值范围．

解    首先题中不等式即 $$-2-b\leqslant ax^2+|x-a|\leqslant 2-b,$$ 于是可以给跑龙套的$b$发盒饭．条件可以转化为 $$\forall x\in [-3,3],-2\leqslant ax^2+|x-a|\leqslant 1,$$ 即 $$\forall x\in [-3,3],-ax^2-2\leqslant |x-a|\leqslant -ax^2+1,$$ 也即 $$\forall x\in [-3,3],\begin{cases} ax^2-1\leqslant x-a \leqslant -ax^2+1,\\ \left(x-a\geqslant -ax^2-2\right)\lor \left(-x+a\geqslant -ax^2-2\right),\end{cases}$$ 也即 $$\forall x\in [-3,3],\begin{cases} ax^2-x+a-1\leqslant 0,\\ ax^2+x-a-1\leqslant 0,\\ \left(ax^2+x-a+2\geqslant 0\right)\lor \left(ax^2-x+a+2\geqslant 0\right).\end{cases}$$

接下来利用端点缩小$a$的探索范围．取$x=-3$，可以得到 $$\begin{cases} 10a+2\leqslant 0,\\ 8a-4\leqslant 0,\\ \left(8a-1\geqslant 0\right)\lor\left(10a+5\geqslant 0\right),\end{cases}$$ 解得$-\dfrac 12\leqslant a\leqslant -\dfrac 15$．

取$x=3$，可以得到 $$\begin{cases} 10a-4\leqslant 0,\\ 8a+2\leqslant 0,\\ (8a+5\geqslant 0)\lor (10a-1\geqslant 0),\end{cases}$$ 解得$-\dfrac 58\leqslant a\leqslant -\dfrac 14$．

这样就得到了$a$必然在区间$\left[-\dfrac 12,-\dfrac 14\right]$上．这一轮进攻收获不小，接下来乘胜追击．

考虑对称轴处．注意到函数$f(x)=ax^2+|x-a|$，因此当$x$与$a$异号时，更容易在上界$1$处出问题，因此取$x=-\dfrac 1{2a}$(根据之前得到的$a$的范围可知该对称轴一定在区间$[-3,3]$内)，可得 $$\dfrac{1}{4a}-\dfrac{1}{2a}-a-1\leqslant 0,$$ 即 $$4a^2+4a+1\leqslant0,$$ 因此$a=-\dfrac 12$．

经过这两波猛烈的进攻以后，敌人已经举了白旗．例行公事，接受投降．

验证$a=-\dfrac 12$时符合题意，这是显然的（事实上，此时函数$y=ax^2+|x-a|$的图象如图）．

注　在本题中，如果结合$x=0$处的函数值缩小$a$的范围可以绕开第一部分对绝对值的处理．记$g(x)=ax^2+|x-a|$，则有 $$\forall x\in [-3,3],-2\leqslant g(x)\leqslant 1.$$ 由$g(0)=|a|$得到$-2\leqslant |a|\leqslant 1$，于是$a\in [-1,1]$．于是端点处绝对值中的正负确定，由 $$g(-3)=9a+|-3-a|=9a+a+3\in [-2,1]$$ 解得$-\dfrac 12\leqslant a\leqslant -\dfrac 15$．由 $$g(3)=9a+|3-a|=8a+3\in [-2,1]$$ 解得$-\dfrac 58\leqslant a\leqslant -\dfrac 14$．

这样就得到了$a$必然在区间$\left[-\dfrac 12,-\dfrac 14\right]$上．