每日一题[72] 数形结合解不等式（方程）

解不等式：$\sqrt{x^2+4x+8}+\sqrt{x^2-4x+8}\leqslant 6$．

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原不等式即

$$\sqrt{(x+2)^2+(2-0)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(2-0)^2}\leqslant 6.$$

联想椭圆的定义，构造以$(-2,0)$，$(2,0)$为焦点，$6$为长轴长的椭圆$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$．

于是所求$x$的范围即直线$y=2$被椭圆截得的弦横坐标的取值范围，即$\left[-\dfrac 3{\sqrt 5},\dfrac{3}{\sqrt 5}\right]$．

下列给出一道练习题．

解方程：$\left|3x-4\right|-\left|3x-8\right|=2$．

提示    令$3x-6=t$，则方程变为

$$|t+2|-|t-2|=2,$$ 于是$t$可以看作是双曲线$x^2-\dfrac{y^2}3=1$被$x$轴所截的交点的横坐标．