每日一题[70] 数列中的规律探索

数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，则$\left\{a_n\right\}$的前$60$项和为______．

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正确的答案是$1830$．

根据题意

$$\begin{split}a_2-a_1&=1,\\a_3+a_2&=3,\\a_4-a_3&=5,\\a_5+a_4&=7,\\a_6-a_5&=9,\\\cdots\end{split}$$

法一

记$a_1=a$，那么数列$\left\{a_n\right\}$：

$$\underbrace{a,a+1,2-a,7-a}_{10},\underbrace{a,a+9,2-a,15-a}_{26},a\cdots$$

不难发现连续$4$项的和构成首项为$10$，公差为$16$的等差数列，因此不难求得所求的前$60$项的和为

$$10+26+42+\cdots=1830.$$

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法二

注意到

$$\left(a_2+a_3\right)+\left(a_4+a_5\right)+\cdots+\left(a_{60}+a_{61}\right)=3+7+\cdots=1830,$$

又由$a_2-a_1=1$及$a_3+a_2=3$相减可得

$$a_1+a_3=2,$$ 类似可得 $$a_1+a_3=a_3+a_5=\cdots=a_{59}+a_{61}=2,$$ 因此 $$a_1=a_5=\cdots=a_{61},$$ 于是所求的前$60$项和为$1830$．