每日一题[511]极值点漂流

已知$f(x)=x-\ln x$的图象与直线$y=m$交于不同的两点$(x_1,m)$和$(x_2,m)$，求证：$x_1x_2^2<2$．

证法一（对称化构造）

由于函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)=\dfrac{x-1}{x},$$ 于是两个公共点分别位于直线$x=1$的两侧，只需要证明当$0<x_1<1<x_2$时，$x_1x_2^2<2$．

当$x_2\geqslant 2$时，$x_1,\dfrac{2}{x_2^2}\in (0,1)$，考虑 $$f(x_1)-f\left(\dfrac 2{x_2^2}\right)=x_2-\dfrac 2{x_2^2}-3\ln x_2+\ln 2,$$ 设函数$\varphi(x)=x-\dfrac 2{x^2}-3\ln x+\ln 2$，则 $$\varphi'(x)=\dfrac{(x-2)^2(x+1)}{x^3},$$ 注意到$\varphi\left(2^{\frac 13}\right)=0$，于是当$x_2\geqslant 2$时，有 $$f(x_1)-f\left(\dfrac{2}{x_2^2}\right)>0,$$ 考虑到$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，于是 $$x_1x_2^2<2.$$

当$1<x_2<2$时，只需要证明$x_1x_2<1$，此时$x_1,\dfrac{1}{x_2} \in (0,1)$，考虑 $$f(x_1)-f\left(\dfrac{1}{x_2}\right)=x_2-\dfrac{1}{x_2}-2\ln x_2>0,$$ 考虑到$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，于是 $$x_1x_2<1,$$ 从而$x_1x_2^2<2$．其中用到了常用放缩，当$x>1$时，有 $$\ln x<\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right).$$

证法二（齐次换元）

设$\dfrac{x_2}{x_1}=t$，且$t>1$，则 $$x_1=\dfrac{\ln t}{t-1},x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1},$$ 于是只需要证明 $$\dfrac{\ln t}{t-1}\cdot \dfrac{t^2\ln^2t}{(t-1)^2}<2,$$ 也即 $$\ln t<\dfrac{2^{1/3}(t-1)}{t^{2/3}}.$$ 令$t^{1/3}=x$($x>1$)，只需要证明 $$2^{1/3}\left(x-\dfrac{1}{x^2}\right)-3\ln x>0,$$ 记$LHS=\varphi(x)$，则 $$\varphi'(x)=\dfrac{2^{1/3}x^3-3x^2+2\cdot 2^{1/3}}{x^3},$$ 设其分子部分为$\mu(x)$，则 $$\mu'(x)=3\cdot 2^{1/3}x^2-6x,$$ 于是其在$(1,+\infty)$上的极小值，亦为最小值为 $$\mu(2^{2/3})=0,$$ 因此$\varphi(x)$单调递增，又$\varphi (1)=0$，因此命题得证．