每日一题[508]双曲线的“垂径定理”

如图，双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右顶点为$A$，左右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$是双曲线右支上一点，$PF_1$交左支于点$Q$，交渐近线$y=\dfrac bax$于点$R$，$M$是$PQ$的中点，若$RF_2\perp PF_1$，且$AM\perp PF_1$，则双曲线的离心率为_______．

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分析    题中条件为一个中点加两组垂直，其中$F_2R\perp RF_1$通过直角三角形的斜边中线转化为$OR=\dfrac 12F_1F_2=c$，其中$c$为双曲线的半焦距．又由于$R$在渐近线上，于是$R$的坐标为$(a,b)$．接下来的关键是如何恰当的表达中点，这就用到了双曲线的“垂径定理”．

解    直线$PF_1$的斜率为$\dfrac{b}{a+c}$，设$M(m,n)$，则

$$\begin{cases} \dfrac nm\cdot \dfrac{b}{a+c}=\dfrac{b^2}{a^2},\\ \dfrac{n}{m-a}\cdot\dfrac{b}{a+c}=-1,\\ \dfrac{n}{m+c}=\dfrac{b}{a+c},\end{cases}$$ 其中第一个方程来源于双曲线的“垂径定理”．

第一个式子与第二个式子相除，可得

$$\dfrac{m-a}{m}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$ 即 $$m=\dfrac{a^3}{c^2}.$$ 第一个式子与第三个式子相除，可得 $$\dfrac{m+c}{m}\cdot\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{b^2}{a^2}\cdot\dfrac{a+c}b,$$ 将$m=\dfrac{a^3}{c^2}$代入，并整理可得 $$e^2-e-2=0,$$ 于是$e=2$，其中$e=\dfrac ca$为双曲线的离心率．