每日一题[481]切线三角形

已知抛物线$C:y^2=4x$和直线$l:x-y+4=0$，$P$是直线$l$上一点，过$P$作抛物线的两条切线，切点分别为$A,B$．若$PA,PB$分别交$y$轴于$M,N$，求$\triangle PMN$外接圆半径的最小值．

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分析    注意到$\triangle PMN$的三边均为抛物线的切线，而抛物线的切线三角形有一个优美性质：抛物线的切线三角形的外接圆过焦点．因此可以从这点入手，结合图形的特殊性解题．

解    设$A(4a^2,4a)$则

$$PA:4ay=2(x+4a^2),$$ 因此$M$点的坐标为$(0,2a)$，从而直线$PA$与$FM$的斜率之积为 $$\dfrac{2}{4a}\cdot \dfrac{2a-0}{0-1}=-1,$$ 因此$PA\perp FM$．类似的，有$PB\perp FN$．因此$P,M,F,N$四点共圆，且直径为$PF$．易知，当$PF\perp l$时，所求外接圆的半径最小，为 $$\dfrac 12PF=\dfrac{5}{2\sqrt 2}=\dfrac{5\sqrt 2}4.$$