每日一题[451]阿波罗尼斯球

在四面体$ABCD$中，已知$AD\perp BC$，$AD=6$，且$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}=2$，则四面体$ABCD$的体积的最大值为_______．

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分析与解    由于$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}=2$，于是$B,C$在以$EF$为直径的球$O$的表面上，其中

$$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED},\overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{FD}.$$

过$BC$作与$AD$垂直的平面得到圆$H$，则$H$必然在直线$AD$上．此时四面体$ABCD$的体积为

$$\dfrac 13S_{\triangle BCH}\cdot AD= BH^2\cdot\sin \angle BHC\leqslant 16,$$ 等号当$BH=4$且$\angle BHC=90^\circ$时取得，也即$H=O$，$\angle BOC$为直角时取得．因此四面体$ABCD$的体积的最大值为$16$．

注    此题即每日一题[39]阿波罗尼斯圆的升级版本．在平面上，满足$\dfrac {AB}{BD}=2$的动点$B$的轨迹为阿波罗尼斯圆，如下：

故点$B$到$AD$的距离的最大值为该圆的半径$4$，当$H$与球心$O$重合，且二面角$C-AD-B$为直二面角时，四面体体积取到最大值．