每日一题[484]年年岁岁花相似

如图，$AB$是圆$O$的直径，$SA$与圆$O$所在的平面垂直且$SA=AB=2$．$C$为圆$O$上不同于$A,B$的点，$M,N$分别为$A$在线段$SB,SC$上的投影．当三棱锥$S-AMN$的体积最大时，$SC$与平面$ABC$所成角的正弦值是_______．

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分析    显然$M$点为定点（线段$SB$的中点），因此问题的关键在于确定$N$点的轨迹．

解    根据题意有

$$\left.\begin{split}\left.\begin{split} SA\perp BC \\ AC\perp BC\end{split}\right\}\Rightarrow BC\perp SAC\Rightarrow BC\perp AN \\ SC\perp AN\end{split} \right\}\Rightarrow AN\perp SBC,$$ 因此$AN\perp NM$，即$N$点的轨迹是以$AM$为直径的圆（不包含$A,M$两点），如图．

此时三棱锥$S-AMN$的体积

$$V=\dfrac 16 AN\cdot NM\cdot SM=\dfrac{\sqrt 2}6\cdot AN\cdot NM,$$ 且 $$AN^2+NM^2=AM^2=2,$$ 于是当$AN=NM=1$时，三棱锥$S-AMN$的体积最大，此时$\angle ASN=\dfrac{\pi}6$，因此所求正弦值为$\cos\dfrac{\pi}6=\dfrac{\sqrt 3}2$．

注   有趣的是，当$C$在圆上运动时，$N$也在圆上运动；$SA,AC,CB$两两垂直，$AN,NM,MS$也两两垂直．因此三棱锥$S-ABC$与三棱锥$S-MAN$是类似的，这个作图过程可以无限进行下去．