每日一题[439]就一块钱，省着点花

已知集合$A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$中的元素都是正整数，且$a_1<a_2<\cdots<a_n$，集合$A$具有性质$M$：对任意的$x,y\in A$，且$x\neq y$，有$|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$．

（1）判断集合$\{1,2,3,4\}$是否具有性质$M$；

（2）求证：$\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_n}\geqslant \dfrac{n-1}{25}$；

（3）求证：$n\leqslant 9$．

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分析    $|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$，即

$$\left|\dfrac 1x-\dfrac 1y\right|\geqslant \dfrac{1}{25},$$ 也就是集合 $$A'=\left\{\dfrac 1{a_1},\dfrac 1{a_2},\cdots ,\dfrac{1}{a_n}\right\}$$ 中的任何两个元素之间的距离都不小于$\dfrac{1}{25}$．由于$A'$中的元素都在区间$(0,1]$内，因此元素个数是有限的．在构造最多元素的集合$A'$时，我们倾向于从$a_1$开始，每次取尽量小的$a_i$，这样可以更有效的利用为数不多的区间长度．

解    （1）由于$\left\{1,\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 14\right\}$中两个元素之间的最小距离为

$$\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac{1}{12}\geqslant \dfrac{1}{25},$$ 于是集合$\{1,2,3,4\}$具有性质$M$；

（2）根据性质$M$的描述，有

$$\begin{split} \dfrac 1{a_1}-\dfrac{1}{a_n}&=\dfrac 1{a_1}-\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_n}\\ &\geqslant \dfrac{n-1}{25}.\end{split}$$

（3）对任意正整数$p,q$且$1\leqslant p<q\leqslant n$，均有

$$\dfrac{q-p}{25}\leqslant \dfrac{1}{a_p}-\dfrac{1}{a_q}<\dfrac{1}{p},$$ 于是 $$q< \dfrac{25}{p}+p.$$ 若$p$无法取得$5$，则$n\leqslant 5$，命题显然成立；若$p$可以取得$5$，那么令$p=5$，有$q \leqslant 9$．取$q=n$，可知$n\leqslant 9$．

事实上，$n$的最大值为$9$，下面就是$n=9$的一个例子：

$$\{1,2,3,4,5,7,10,17,54\}.$$