每日一题[424]花落知多少

已知$2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，$m,n$均为整数，且$1\leqslant m \leqslant 2012$．求满足

$$5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$$ 的有序整数对$(m,n)$共有多少对？

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正确答案是$279$．

解    易知$5^n$与$5^{n+1}$之间只能有$2$个或$3$个$2^m$形式的数．因为$2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，所以当$1\leqslant m \leqslant 2012$时，只需考虑以下$867$个区间：

$$(5^0,5^1),(5^1,5^2),\cdots,(5^{866},5^{867}),$$ 设这些区间中有$2$个$2^m$形式的数的区间个数为$x$，有$3$个$2^m$形式的数的区间个数为$y$，则 $$\begin{cases}x+y=867,\\2x+3y=2013.\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}x=588,\\y=279.\end{cases}$$ 所以满足$5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$的有序整数对$(m,n)$共有$279$对．