每日一题[419]瘦死的骆驼没马大

2013年高考辽宁卷文科数学第12题（选择压轴题）、理科数学第11题：

已知函数$f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2$，$g(x)=-x^2+2(a-2)x-a^2+8$，设$H_1(x)=\max\left\{f(x),g(x)\right\}$，$H_2(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}$．记$H_1(x)$的最小值为$A$，$H_2(x)$的最大值为$B$，则$A-B=$（        ）

A．$a^2-2a-16$

B．$a^2+2a-16$

C．$-16$

D．$16$

---

正确答案是 C．

解    要考虑$f(x),g(x)$的大小，作差

$$f(x)-g(x)=2(x^2-2ax+a^2-4),$$ 记$h(x)=x^2-2ax+a^2-4$，则$h(x)$一定有两个零点 $$x_1=a-2,x_2=a+2,$$ 对应的点$M(x_1,f(x_1)),N(x_2,f(x_2))$为$f(x),g(x)$的交点，且$M$点恰为$g(x)$的顶点，$N$点恰为$f(x)$的顶点，示意图如下：

结合示意图知

$$A=N_y=f(x_2),B=M_y=f(x_1).$$ 于是 $$\begin{split} A-B&=f(x_2)-f(x_1)\\&=(x_2-x_1)[x_2+x_1-2(a+2)]\\&=-16.\end{split}$$ 本题中由两个函数比较大小定义出的函数是常见的一种新定义函数，研究这个函数只需要研究两个函数的交点对应的函数值，以及原来的两个函数的极值点即可，通常结合图象会对新定义函数的整体有更好的认识．