2013年高考辽宁卷文科数学第12题（选择压轴题）、理科数学第11题：
已知函数\(f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2\)，\(g(x)=-x^2+2(a-2)x-a^2+8\)，设\(H_1(x)=\max\left\{f(x),g(x)\right\}\)，\(H_2(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}\)．记\(H_1(x)\)的最小值为\(A\)，\(H_2(x)\)的最大值为\(B\)，则\(A-B=\)（ ）
A．\(a^2-2a-16\)
B．\(a^2+2a-16\)
C．\(-16\)
D．\(16\)
正确答案是 C．
解 要考虑$f(x),g(x)$的大小，作差$$f(x)-g(x)=2(x^2-2ax+a^2-4),$$记$h(x)=x^2-2ax+a^2-4$，则$h(x)$一定有两个零点$$x_1=a-2,x_2=a+2,$$对应的点$M(x_1,f(x_1)),N(x_2,f(x_2))$为$f(x),g(x)$的交点，且$M$点恰为$g(x)$的顶点，$N$点恰为$f(x)$的顶点，示意图如下：
结合示意图知$$A=N_y=f(x_2),B=M_y=f(x_1).$$于是$$\begin{split} A-B&=f(x_2)-f(x_1)\\&=(x_2-x_1)[x_2+x_1-2(a+2)]\\&=-16.\end{split}$$本题中由两个函数比较大小定义出的函数是常见的一种新定义函数，研究这个函数只需要研究两个函数的交点对应的函数值，以及原来的两个函数的极值点即可，通常结合图象会对新定义函数的整体有更好的认识．