每日一题[416]运动中的不变量

这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的题目：

已知$A(0,1)$，$B(1,0)$，$C(t,0)$，点$D$是直线$AC$上的动点，若$AD\leqslant 2 BD$恒成立，则最小正整数$t$的值为_______．

---

正确答案是$4$．

分析    注意到当$C$确定后，$\angle DAB$在$D$运动的时候是不变的，因此可以考虑利用正弦定理来表达条件$AD\leqslant 2BD$．

解    如图，在$\triangle ABD$中，由正弦定理得

$$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}\leqslant 2,$$ 而$\angle ABD$的取值范围是$(0,\pi)$，于是$\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}$的最大值为$\dfrac{1}{\sin \angle BAD}$，问题转化为 $$\sin\angle BAD\geqslant \dfrac 12,$$ 也即$\angle BAD\geqslant \dfrac{\pi}6$，于是 $$t=OC\geqslant \tan\left(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}6\right)=2+\sqrt 3,$$ 因此$t$的最小正整数取值为$4$．（因为$t$为正整数，所以只需要考虑$C$点在$B$点右边这种情形．）

注　本题也可以先探索满足条件$AD\leqslant 2 BD$的$D$所在的范围为一个阿波罗尼斯圆及其外部：

$$\left(x-\dfrac 43\right )^2+\left(y+\dfrac 13\right )^2\geqslant \dfrac 89,$$ 利用该圆心到直线$AC$的距离不小于半径，得到直线$AC$的斜率范围，从而求得$t$的范围为 $$t\geqslant 2+\sqrt 3\lor t\leqslant 2-\sqrt 3.$$ 但这个解法比原题的解法复杂很多．