每日一题[379]探索规律

数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，若$\{a_n\}$的前$30$项和$S_{30}=663$，则$a_1=$_____．

正确答案是$100$．

解　法一　在本题中，关键是表达出前$30$项的和，由条件比较容易求出两项两项的和，我们以此入手．

由题意知 $$a_2-a_1=1,a_3+a_2=3,a_4-a_3=5,\cdots$$ 要求的是各项的和，而这三个式子适当相加相减便可以得到 $$a_1+a_3=2,a_2+a_4=8,$$ 于是我们对一般项进行类似推理：

在题目的条件中依次令$n=2k-1,2k,2k+1,k\in\mathcal{N}^*$，得到 $$\begin{split} a_{2k}-a_{2k-1}=4k-3,\\a_{2k+1}+a_{2k}=4k-1,\\a_{2k+2}-a_{2k+1}=4k+1.\end{split}$$ 将前两式相减得 $$a_{2k+1}+a_{2k-1}=2,$$ 将后两式相加得 $$a_{2k+2}+a_{2k}=8k,$$ 于是我们得到前$30$项中的奇数项的和为 $$a_1+(a_3+a_5)+(a_7+a_9)+\cdots+(a_{27}+a_{29})=a_1+14.$$ 偶数项的和为 $$\begin{split} &a_2+(a_4+a_6)+\cdots+(a_{28}+a_{30})\\=&(1+a_1)+8\times 2+8\times 4+\cdots+8\times 14\\=&1+a_1+16\times\dfrac {1+7}{2}\times 7\\=&449+a_1.\end{split}$$ 因此 $$S_{30}=a_1+14+449+a_1=463+2a_1=663,$$ 解得$a_1=100$．

法二　这是一个递推数列，我们可以尝试计算一些项来发现规律．

根据题意$a_{n+1}=2n-1-(-1)^na_n$，即 $$a_n=\begin{cases} 2n-3-a_{n-1},&2\nmid n,\\2n-3+a_{n-1},&2|n,\end{cases}(n\geqslant 2,n\in\mathcal{N}^*)$$ 设首项$a_1=a$，则

$a_2=1+a$，$a_3=3-a_2=2-a$，$a_4=5+a_3=7-a$，$a_5=7-a_4=a$，$a_6=9+a$，$a_7=2-a$，$a_8=15-a$，$a_9=a$，$\cdots$．

可以归纳出以下规律（以下所有$k\in\mathcal{N}^*$） $$a_{4k-3}=a,a_{4k-1}=2-a,$$ 于是前$30$项中所有奇数项的和为 $$a_1+a_3+\cdots+a_{29}=a_1+7\times 2=a+14.$$ 接下来计算前$30$项中所有偶数项的和，从通项入手： $$\begin{split} a_{4k-2}&=2(4k-2)-3+a_{4k-3}=8k-7+a,\\a_{4k}&=2\cdot 4k-3+a_{4k-1}=8k-1-a,\end{split}$$ 于是 $$a_{4k-2}+a_{4k}=16k-8=8(2k-1),$$ 从而有 $$\begin{split} &a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{30}\\=&8\times 1+8\times 3+\cdots+8\times 13+(64-7+a)\\=&449+a.\end{split}$$ 因此 $$S_{30}=a+14+449+a=463+2a=663,$$ 解得$a=100$．

这是数列问题的常规处理思路，通过多写几项来发现规律，将某些项的通项公式写出之后，可以通过题目条件求出其他项的通项公式，最后求和．

注　本题改编自2012年全国高考新课标卷理科第16题（填空压轴题），高考原题见每日一题[70]数列中的规律探索，那里也给出了本题的其它解题思路，看完不妨拿来试着解决本题．