每日一题[375]素数有多少

上个星期数学家们发现了目前世界上最大的素数，也是第$49$梅森素数

$$M_{49}=2^{74207281}-1,$$ 这是一个$22338618$位的数．感兴趣的读者可以去关注这篇文章哥德巴赫猜想与1+1=2．下面我们来看一道我们可以解决的与素数有关的问题，这是2011年希望杯高一年级的试题：

已知数列$1,101,10101,1010101,\cdots$．则该数列中的素数项有（　　）

A．无穷多个

B．超过$2$个的有限

C．不超过$2$个

D．$0$个

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正确答案是 C．

解　数列的通项为

$$\begin{split} a_n&=1+10^2+10^4+\cdots+10^{2n-2}\\&=\dfrac {100^n-1}{99}.\end{split}$$ ①当$n=2k,k\in\mathcal{N}^*$时， $$\begin{split} a_n&=\dfrac {100^{2k}-1}{99}\\&=\dfrac {100^k-1}{99}\cdot(100^k+1).\end{split}$$ 因为$99|(100^k-1)$，所以$\dfrac {100^k-1}{99}\in\mathcal {N}$，当$k>1$时，$99<100^k-1$，从而有$a_n$为合数；

特别地，当$k=1$时，$a_2=101$为素数；

②当$n=2k+1$时，

$$\begin{split} a_n&=\dfrac {10^{2k+1}-1}{9}\cdot\dfrac {10^{2k+1}+1}{11}\\&=\dfrac{1-10^{2k+1}}{1-10}\cdot\dfrac{1-(-10)^{2k+1}}{1-(-10)}, \end{split}$$ 当$k>0$时，$\dfrac{1-10^{2k+1}}{1-10}$与$\dfrac{1-(-10)^{2k+1}}{1-(-10)}$都为大于$1$的整数，故$a_n$为合数（也可以通过将$10$写成$9+1$与$11-1$，由二项式定理得到这两个数为整数）．

特别地，当$k=0$时，$a_1=1$既不是素数也不是合数．

综上知，该数列中有且只有一个素数，故选项C正确．