每日一题[382]乾坤大挪移

在平面直角坐标系中，已知点$F(3,0)$在圆$C:(x-m)^2+(y-2)^2=40$内，动直线$AB$过点$F$且交圆于$A,B$两点，若$\triangle ABC$的面积的最大值为$20$，则实数$m$的取值范围是_______．

正确答案是$(-3,-1]\cup [7,9)$．

分析    在解直线与圆的题目时，以下几何量知其二就能推出其他几何量：

① 半径$r$；

② 弦所对的圆心角或圆周角$\theta$；

③ 弦长$l$；

④ 弦心距$d$．

另一方面，弦的两个端点与圆心构成的三角形的面积可以由①②计算，也可以由③④计算，这些几何量之间的关系是需要在计算中熟练应用的．

解    注意到$\triangle ABC$是以弦$AB$为底，圆$C$的半径为腰的等腰三角形．于是可得当$\triangle ABC$的面积取得最大值$20$时，其顶角$\angle ACB$为直角，进而将条件“挪移”为圆心$C$到直线$AB$的距离为半径的$\dfrac{1}{\sqrt 2}$，也即直线$AB$是圆 $$(x-m)^2+(y-2)^2=20$$ 的切线，如图．

因此题意即过点$F$可以作圆 $$(x-m)^2+(y-2)^2=20$$ 的切线，即 $$20\leqslant (3-m)^2+(0-2)^2<40,$$ 解得$m$的取值范围是$(-3,-1]\cup [7,9)$．