每日一题[376]透过现象看本质

已知$a>0$，则$x_0$满足关于$x$的方程$ax=b$的充要条件是（　　）

A．$\exists x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\geqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$

B．$\exists x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\leqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$

C．$\forall x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\geqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$

D．$\forall x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\leqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$

正确答案是 C．

解　题意即下面哪个选项等价于$x_0=\dfrac ba$．

四个选项都是全称命题或存在性命题，如何透过抽象的数学符号看清选项的本质是解决本题的关键．四个命题都是在处理函数$f(x)=\dfrac 12ax^2-bx$，这个函数的图象是一个开口向上的抛物线，当$x=\dfrac ba$时，函数取到最小值，所以如果$f(x)\geqslant f(x_0)$恒成立，则$x_0=\dfrac ba$，从而选项C正确．

全称命题或存在性命题可以表达与函数的最值相关的问题，遇到这类问题，抓住逻辑语言下要表达的问题的本质，对问题进行正确的转化是解题的关键．下面给出一道练习：

已知$f(x)=x^2-2x$，$g(x)=mx+2$，若$\forall x_1,x_2\in [0,2]$，有$f(x_1)\leqslant g(x_2)$，求$m$的取值范围．

答案　$m\geqslant -1$．

提示　题意即$f(x)$在$[0,2]$上的最大值小于等于$g(x)$在$[0,2]$上的最小值．